离散数学期末复习
文章目录
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- 二元关系
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- 0：自反对称传递
- 1:商集
- 2：集合的划分
- 3：求等价关系
- 4：等价关系的求证
- 5：偏序关系的求证，画哈斯图
- 6：偏序关系的最大元与最小元
- 7：偏序关系中的极大元与极小元。
- 8：偏序关系的上界和上确界，下界下确界
- 函数
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- 1:函数的满射单射与双射
- 2：函数的复合运算
- 3：反函数
- 课后习题
- 图
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- 1：基本概念
- 2:有向图和无向图的度数
- 3:握手定理
- 4：出度序列与入度序列
- 5：最大度与最小度
- 6：判断数列是否可图化
- 7：无向完全图
- 8：通路与回路
- 8：图的连通性
- 9：图的矩阵表示
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- 有向图的关联矩阵
- 有向图的邻接矩阵
- 根据矩阵求通路数
- 可达矩阵
- 欧拉图与哈密顿图
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- 哈密顿图
- 最短路问题
- 习题
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- 树
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- 无向树及其性质
- 最小生成树
- 画最小生成树与权总和
- 根数及其应用
- 哈夫曼算法计算权重与权值。
- 最佳前缀码
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- 最优二叉树与最佳前缀码
- 题目
- 平面图
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- 概念
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- 性质
- 欧拉公式：连通平面图：
- 练习题
- 集合代数
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- 基本概念
- 对称差
- 包含排斥定理
- 集合恒等式
- 习题：
- 命题逻辑
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- 概念
- 命题连接词
- 命题符号化重点
- 命题公式及其赋值
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- 求成真赋值与成假赋值
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- 优先顺序 （） —— ∩ ∪ ➡ ⬅➡
- 重言式与矛盾式
- 习题：
- 命题逻辑等值演算
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- 等值式
- 常见等值式
- 一个例题
- 析取范式与合取范式
- 求析取和合取范式
- 主析取范式与主合取范式
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- 极小项与最大项
- 真值表法
- 例题
- 谓词逻辑基本概念
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- 谓词逻辑命题符号化
- 量词：全称量词与存在量词
- 有人登上月球
- 指导变元，约束出现
- 谓词逻辑的永真与矛盾式
- 谓词逻辑等值式与置换规则
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- 等值式
- 公式：量词辖域收缩与扩张等值式
- 量词分配等值式
- 全称量词与合取搭配
- 谓词逻辑前束范式
- 量词消去规则
二元关系
0：自反对称传递
1:商集
2：集合的划分
集合不含空集，两集合的交集也为空集，两集合的并集为A，则为A的一个划分。
3：求等价关系
有多少种划分就有多少种等价关系
下图对应的都是恒等关系：
4：等价关系的求证
若xy属于T则有xy属于R且yx属于r。
5：偏序关系的求证，画哈斯图
如果R是自反的，反对称的和传递的，则R为A上的偏序关系。
6：偏序关系的最大元与最小元
最大元：找到最上面的一个元素与其他元素都有线段连接
最小元：找到元素要小于等于集合中的任何元素，且可比（有关系）
最大元与最小元的前提都是可比的，如果元素与元素之间没有关系，也就是不可比，则不是最大元与最小元。
下图中23不可比，所以都不是最小元
7：偏序关系中的极大元与极小元。
孤立的点也可以叫极大元？
极大元：没有比极大元更大的元素，只需要找谁在最上面
极小元：没有比极小元更小的元素，只需要找谁在最下面
不需要满足可比性
8：偏序关系的上界和上确界，下界下确界
比子集大的A中元素都为上界
大的恰到好处不能再少的，为上确界。
同时求上界与上确界需要满足可比，23不可比，所以3不能是上界
下界：比子集小的A中元素都为下界
下确界：下的恰到好处，是下界中的最大
题目：有空就做：
函数
一个x不能对应两个y
1:函数的满射单射与双射
2：函数的复合运算
<1,2>与<2,3>复合为<1,3>,<1,2>不能与<3,3>复合。
3：反函数
课后习题
图
1：基本概念
如图e2的关联为v1与v2，关联数为2
无向图有共同边连接的两个顶点是相邻的
相邻：有向边的两个顶点之间是相邻的，但是必须一条边的终点是另一条边的起点，才能说两条边相邻。
2:有向图和无向图的度数
无向图顶点度数的计算包括起始点和终点，无向图一条边算一度，但是如果是自环，则算两度
3:握手定理
4：出度序列与入度序列
5：最大度与最小度
度数之和要为偶数
6：判断数列是否可图化
1：一定为偶数，最大度小于等于n-1，不能为4，所以选d。
7：无向完全图
定义：
8：通路与回路
定义：顶点边顶点边的交替形式称为回路，没有孤立的点
第一个顶点与最后一个顶点相同为通路，有环且没有孤立 的顶点
8：图的连通性
任何两个顶点联通
9：图的矩阵表示
行对应顶点个数，列对应边的个数。如果顶点重合关联次数为2，顶点不重合，关联次数为1.
有向图的关联矩阵
有向图的邻接矩阵
顶点到顶点边的条数
根据矩阵求通路数
长度为1在A1中找长度为2在A^2中找
回路看对角线长度为1的元素
可达矩阵
任何一个元素到达自身都是可达的，所以可达矩阵主对角线上的元素全为1
欧拉图与哈密顿图
哈密顿图
判断是否存在哈密顿通路：任意两个不相邻顶点的度数大于等于n-1
是否存在哈密顿回路：任意两个不相邻顶点大于n
最短路问题
图中有数字的图叫带权图。
长度就是指权。
迪杰特斯拉算法。顶点到自身的距离看为0，顶点到不相邻点的距离看为∞，然后一直找相邻的距离最小的顶点。
注意是求V1到其余各点
习题
树
无向树：没有环，单连通。树叶：度数等于1的顶点。
平凡图：途中只有一个顶点且没有边
无向树及其性质
握手定理：所有顶点的度数之和等于边数的两倍。树的边数又等于顶点数减一
最小生成树
无向图有生成树当且仅当G是连通图
画最小生成树与权总和
根数及其应用
基图：讲有向树的箭头省去就变成了无向树。根树就是树根。
v1是v5、v8的祖先，v5是v1的后代。
相邻则是父子关系。v8与v9是兄弟关系。
权总和：结点的权值乘以权重
哈夫曼算法计算权重与权值。
最佳前缀码
比如集合中的元素adc，在此集合中可找到a或ad则不能构成前缀码。
A选项中，aa与aaa矛盾。如果是aa找有没有单个a，如果是aba，找有没有单个ab，adc找有没有单个的a或ad
最优二叉树与最佳前缀码
题目
平面图
概念
二部图：上面的顶点必须与下面的所有顶点进行相连。
平面图：除了顶点之外没有边进行相交。如果通过将边往外拉可以不相交，依然可以称为平面图
k5代表顶点为5的完全图，k33代表顶点为3的完全二部平面图。
性质
平面图所有面的次数之和等于边数的两倍。
欧拉公式：连通平面图：
顶点数-边数+面数=2
练习题
集合代数
基本概念
对称差
（A-B)∪（B-A） ~A表示A的补集
包含排斥定理
||表示元素的个数
集合恒等式
集合证明：
习题：
命题逻辑
概念
命题连接词
否定合取、析取、蕴涵（→）等价（⬅➡）
蕴含：前真后假才为假。等价，同时为0或同时为1为真。
命题符号化重点
排斥或
命题公式及其赋值
pqr都是既可以取0又可以取1，则都是命题变元。
成真赋值：真值为1 的时候pq的取值
成假赋值：真值为0的时候pq的取值。
求成真赋值与成假赋值
优先顺序 （） —— ∩ ∪ ➡ ⬅➡
重言式与矛盾式
重言式：在各种情况下都为真为重言式也叫永真式。
矛盾式：在各种情况下取址均为假叫永假式也叫矛盾式。
不是矛盾式，则是可满足式。
习题：
命题逻辑等值演算
等值式
常见等值式
一个例题
析取范式与合取范式
析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式。
合取范式：由简单析取式的合取构成的范式。
求析取和合取范式
析取范式：只需要把式子化成括号里面都是合取，括号外面都是析取就可以啦。
主析取范式与主合取范式
极小项与最大项
真值表法
例题
连接词的完备集
谓词逻辑基本概念
谓词逻辑命题符号化
量词：全称量词与存在量词
有人登上月球
人和月球有交叉。如果时蕴含，则变成了，如果他是人则他一定登上过月球。
存在量词用析取，全称量词用蕴含
指导变元，约束出现
指导变元都约束出现。
谓词逻辑的永真与矛盾式
谓词逻辑等值式与置换规则
等值式
公式：量词辖域收缩与扩张等值式
量词分配等值式
全称量词与合取搭配
消去存在量词加析取，消去全称量词加合取
谓词逻辑前束范式
将量词放在括号外
量词消去规则
