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锥约束优化-变分分析基础（切锥）

修改时间 修改内容
2019.09.28 补充了凸集上的雷达锥法锥
   

锥：K \subset \mathbb{R}^n，对于任意x \in K 所有\alpha >0，都有\alpha x \in K，则称K是一个锥

对于X是有限维Hilbert空间，S \subset X,x \in S给出下列定义

雷达锥：R_{s}(x)=\left \{ h\in X:\exists t^{*}>0,\forall t\in \left [ 0,t^{*} \right ],x+th\in S \right \}锥约束优化-变分分析基础（切锥）_第1张图片

 

切锥：T_{s}(x)=\lim_{t\downarrow 0}sup\frac{S-x}{t}，  用距离函数刻画T_{S}(x)=\left \{ h\in X: \exists t_{n}\downarrow 0,dist(x+t_{n}h,S)=o(t_{n})\right \}，

                                                         用序列刻画T_{S}(x)=\left \{ h|\exists t_{k}\downarrow 0,\exists h^{k}\rightarrow h \,\, satisfied\,\, x+t_{k}h^{k}\in S,\forall k \right \}

内切锥：T_{s}^{i} (x)=\lim_{t\downarrow 0}inf\frac{S-x}{t}，  用距离函数刻画T_{S}^{i}(x)=\left \{ h\in X:dist(x+th,S)=o(t),t\geq 0 \right \}

                                                         用序列刻画T_{S}^i(x)=\left \{ h|\forall t_{k}\downarrow 0,\exists N \in N_{\infty},\exists h^{k}\rightarrow h \,\, satisfied\,\, x+t_{k}h^{k}\in S,\forall k \in N \right \}

正则切锥：T_{s}^{c} (x)=\lim_{t\downarrow 0 , S\ni x^{'}\rightarrow x}inf\frac{S-x^{'}}{t}

                                                         用序列刻画T_{S}^{c}(x)=\left \{ h|\forall t_{k}\downarrow 0,\forall x^k \overset{S}{\rightarrow} x,\exists h^{k}\rightarrow h \,\, satisfied\,\, x+t_{k}h^{k}\in S,\forall k \right \}

若x不在S中，约定上述锥为空集。显然有R_{S}(x) \subset T_{S}^{i}(x)\subset T_{S}(x)

凸集上的雷达锥、法锥、切锥？

  定义 注意点  
锥K K \subset \mathbb{R}^n，对于任意x \in K 所有\alpha >0，都有\alpha x \in K    
极锥K^\circ K是锥，K^\circ = \left \{ y \, in\, \mathbb{R}^n:\left \langle y,x \right \rangle\leq 0\, for\,all\, x \in K \right \}   锥约束优化-变分分析基础（切锥）_第2张图片
cone(X) 由集合X生成的锥    
雷达锥K_X(x)

凸集 ，x \in X，

K_X(x)=cone(X-x)

 建立在凸集的点上 锥约束优化-变分分析基础（切锥）_第3张图片
法锥N_X(x) 闭凸集 ，x \in X，N_X(x)=[cone(X-x)]^\circ 建立在闭凸集的点上 锥约束优化-变分分析基础（切锥）_第4张图片

 

 

 

 

 

 

 

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