100个python算法超详细讲解：素数

1．问题描述
求给定范围start～end之间的所有素数。
2．问题分析
素数指的是只能被1和它自身整除的整数。
判定一个整数m是否为素数的关键，就是要判定整数m能否能被除1和
它自身以外的其他任何整数所整除，若都不能整除，则m为素数。
本题求的是给定范围start～end之间的所有素数，考虑到程序的通用
性，需要从键盘输入start和end的值，例如输入start=1，end=1000，则所编
写的程序应能够打印出1～1000之间的所有素数。
3．算法设计
由问题分析可知，该问题考虑用双层循环结构实现。
外层循环对start～end之间的每个数进行迭代，逐一检查其是否为素
数。外层循环的循环变量用变量m表示，m即代表当前需要进行判断的整
数，显然其取值范围为start≤m≤end。
内层循环稍显复杂，完成的功能是判断当前的m是否为素数。设内循
环变量为i，程序设计时i从2开始，直到 为止。用i依次去除需要判定的
整数m，如果m能够被2～  中的任何一个整数所整除，则表示i必然小于
或等于  ，并可以确定当前的整数m不是素数，因此应提前结束该次循
环。如果m不能被  中的任何一个整数所整除，则在完成最后一次循
环后，i还需要加1，即  ，之后才终止循环。此时，可以确定当前的
整数m为素数。
我们可以使用标志位flag来监控内外循环执行的情况。在定义变量时
将flag初值设为1，在内层循环中判断时，如果m能够被 中的任何一
个整数所整除，则在内循环中将flag设置为0。如果m不能被 中的任
何一个整数所整除，则在内循环中不会修改flag标志的值，退出内循环后
它的值仍为1。此时在外循环中对flag的值进行判断，如果flag=0，则显然
当前的m不是素数，如果flag=1，则当前的m是素数，应该将其打印出来。
还需要注意的是，在外循环中，每次要进行下一次迭代之前，要先将
flag标志再次置为1。
在设计算法时我们还可以定义count变量用来保存最后求得的start～
end之间素数的总个数。
4．确定程序框架
1）输入start和end并判断输入是否合法。输入start和end值，并使用
while语句来判断start和end的值是否满足条件start>0且start 则输入范围合法，否则重新输入。

print("请输入一个整数范围(start-end): ")
start = int(input("start = "))
end = int(input("end = "))
while not (start>0 and start

2）求素数。在算法设计中我们已经知道，求指定范围内的素数需要
使用双重循环，下面的代码描述了求素数的过程。

# 外层循环，对start～end之间的每个数进行迭代，检查是否为素数
m = start
while m <= end:
k = math.sqrt(m) # 求m的平方根
i = 2
while i <= k: # 内层循环，判断2～k之间的每个数是否能被m整除
# 若存在一个数能被m整除，则跳出内层循环
# 否则，m是素数，打印m
i += 1
m += 1

3）每输出15个素数则换行。定义变量count，初值为0。使用count计
数，每找到一个素数就将count值加1，接着判断当前count值是否能被15整
除，若能整除则换行，否则在当前行继续打印。代码如下：

count += 1
if count % 15 == 0: # 每15个素数换一行
print()

程序的流程图如图5.1所示。

5．完整的程序

根据上面的分析，编写程序如下：

#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 素数
import math
if __name__ == "__main__":
flag = 1
count = 0
print("请输入一个整数范围(start-end): ")
start = int(input("start = "))
end = int(input("end = "))
while not (start>0 and start

 6．运行结果
在PyCharm下运行程序，屏幕上提示“请输入一个整数范围（start-
end）：”，输入1和1000，即打印1～1000之间的所有素数，运行结果如图
5.2所示

7．问题拓展
在问题分析中，我们指出素数是只能由1和它自身整除的整数。判定
一个整数m是否为素数的关键就是要判定整数m能否被1和它自身以外的任
何其他整数所整除，若都不能整除，则m为素数。因此，实际上求素数最
直观的方法就是用m依次除以2～m之间的所有整数，从而做出判断。
因此最简单直观的判断方法就是使用下面的代码，在下面的代码中循
环变量i的变化范围就是2～m。

# 判断m是否为素数
i = 2
while i <= m:
if m % i == 0:
print("%d 不是素数！" %m)
break
i = i + 1
else:
print("%d 是素数！" %m)

 而我们在解决该问题时循环变量i的变化范围是 ，显然该范围需
要判断的次数要小于对2～m之间的每个数进行判断的次数。
之所以只需要对 之间的每个数进行判断，其依据为如下定理：
如果m不是素数，则m必有满足1 根据上面的定理，我们就可以有效地减少循环判断的次数，即将循环
变量i的变化范围改为2～sqrt(m)，从而提高算法的效率。代码如下：

# 判断m是否为素数
k = int(math.sqrt(m))
for i in range(2, k + 2):
if m % i == 0:
break # 可以整除，肯定不是素数，结束循环
if i == k + 1:
print(m, "是素数！")
else:
print(m, "不是素数！")

8．拓展训练
请思考问题：找出10个最小的连续自然数，它们个个都是合数（非素
数）。
9．补充知识点
聪明的你可能已经注意到了，在前面章节及本节中，我们都使用到了
Python的math模块，下面我们就来介绍一下math模块的一些相关方法，在
后续章节中也会用到。
math模块提供了对C标准定义的数学函数的访问，包括数论与表示函
数、幂函数与对数函数、三角函数、角度转换函数、双曲函数、特殊函数
及常数等。
下面介绍其中的部分常用函数，没有介绍到的函数，如果读者感兴
趣，可以自行查阅相关的资料文档。
（1）数论与表示函数
·math.ceil(x)：该函数返回x的上限值，即大于或等于x的最小整数。
·math.fabs(x)：该函数返回x的绝对值。
·math.factorial(x)：该函数以一个整数返回x的阶乘，如果x不是整数或
为负数时，则抛出ValueError错误异常。
·math.floor(x)：该函数返回x的向下取整，小于或等于x的最大整数。
·math.gcd(a,b)：该函数返回整数a和b的最大公约数。如果a或b之一非
零，则gcd(a,b)的值是能同时整除a和b的最大正整数。gcd(0,0)返回0。
（2）幂函数与对数函数
·math.exp(x)：该函数返回e的x次幂，其中e=2.718281...，是自然对数
的基数。这通常比math.e ** x或pow(math.e,x)更精确。
·math.expm1(x)：该函数返回e的x次幂，减1。这里e是自然对数的基
数。
·math.log(x[,base])：该函数如果使用一个参数，返回x的自然对数（底
为e）。如果使用两个参数，则返回给定base的对数x，计算为
log(x)/log(base)。
·math.log2(x)：该函数返回x以2为底的对数。这通常比log(x,2)更准
确。
·math.log10(x)：该函数返回x底为10的对数。这通常比log(x,10)更准
确。
·math.pow(x,y)：该函数将返回x的y次幂。
·math.sqrt(x)：该函数返回x的平方根。
（3）三角函数
·math.sin(x)：该函数返回x弧度的正弦值。
·math.cos(x)：该函数返回x弧度的余弦值。
·math.tan(x)：该函数返回x弧度的正切值。
·math.asin(x)：该函数以弧度为单位，返回x的反正弦值。
·math.acos(x)：该函数以弧度为单位，返回x的反余弦值。
·math.atan(x)：该函数以弧度为单位，返回x的反正切值。
（4）角度转换函数
·math.degrees(x)：该函数将角度x从弧度转换为度数。
·math.radians(x)：该函数将角度x从度数转换为弧度。
（5）双曲函数
双曲函数是基于双曲线而非圆来对三角函数进行模拟。下面介绍常用
的双曲函数。
·math.sinh(x)：该函数返回x的双曲正弦值。
·math.cosh(x)：该函数返回x的双曲余弦值。
·math.tanh(x)：该函数返回x的双曲正切值。
·math.asinh(x)：该函数返回x的反双曲正弦值。
·math.acosh(x)：该函数返回x的反双曲余弦值。
·math.atanh(x)：该函数返回x的反双曲正切值。
（6）常数
·math.pi：数学常数圆周率π=3.141592...，精确到可用精度。
·math.e：数学常数e=2.718281...，精确到可用精度。
·math.tau：数学常数τ=6.283185...，精确到可用精度。τ是一个圆周常
数，等于2π，即圆的周长与半径之比。