单变量-条件异方差模型

        本篇文章重在阐述如何对单变量进行波动率进行建模，并使用python进行实现。后续文章将会继续探讨如何对多维资产组合的波动率进行建模。

一、 Garch模型的背景——波动率特征

1. 使用波动率的场景

1） 期权定价BS公式

2） 计算头寸的风险值

3） 均值-方差框架下的资产配置

4） 提升参数估计和区间预测的精确度

使用期权的价格得到隐含波动率：即由BS公式反推出条件标准差，（假设：标的资产的价格符合几何布朗运动）

一般而言，金融市场的波动率具有如下特征：

1） 条件异方差和波动率聚集：即波动率在一些时间段上高，在另外一些时间段上低

2） 波动率以连续方式随时间变化，鲜有跳跃的场景。

3） 波动率不发散到无穷，一般在固定的范围内变化，从而从统计角度来说是平稳的

4） 波动率对价格大幅上升和价格大幅下降的反应是不同的——杠杆效应

因此，资产收益率往往会呈现条件异方差性的效果，使用Garch模型可以提高波动率估计的准确性。

二、收益率的序列相关性

下图绘制了沪深300指数的收益率图像，可以看出指数收益率存在较为明显的波动率聚集情况。即，大的波动率后面一般会有着波动延续。这一现象也可以直接从金融逻辑来理解。当市场出现较大波动时，这种波动可能会持续下去。因此，简单的使用过去方差对未来方差进行预测就出出现较大偏误

沪深300日度收益率

三、 对资产收益率序列建立一个波动率模型的步骤

一般而言，标准的波动率建模服从以下步骤

（1） 通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，并消除可能存在的线性依赖，如使用ARMA模型

（2） 对均值方程的残差进行ARCH检验，即进行条件异方差性检验

（3） 如果ARCH效应在统计上是显著的，则指定一个波动率模型，并对均值方程和波动率方程进行联合估计

（4） 检验所拟合的模型，并进行改进。

四、 ARCH 模型

上述步骤中，我们提到了ARCH（Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity,自回归条件异方差,by Engle,1992）模型

ARCH模型的基本思想是：

（1） 资产收益率的扰动a_t是序列不相关的，但不是独立的

（2） a_t的不独立性可以用其延迟值的简单二次函数来表述

ARCH(m)模型可以设为：

从模型结构来看，大的过去的扰动会导致信息的条件异方差。从而有取绝对值较大的值的倾向。即，在ARCH的框架下，大的扰动会倾向于紧接着出现另一个大的扰动。即，类似于波动率聚集的现象。

五、 GARCH模型

ARCH模型存在的一个较大问题在于，在估计方差回归方程的时候，需要估计p个参数，并且，滞后多少阶也并不好确定。因此，Bollerslev(1986)提出了广义ARCH模型（GARCH），GARCH模型可以由下面的方程表示：

其中为资产收益率的标准差。并且，模型设定一般只选取Garch(1,1)即可。

六、使用Python对沪深300指数进行波动率建模，并比较样本外预测效果

#------1.使用train的model来对波动率进行GARCH建模----------------------

import pandas as pd

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import os as os

from arch import arch_model

data0 = pd.read_csv('300data.csv')

data = np.array(data0['pct_chg'])

train = data[:-10]

test = data[-10:]

am = arch_model(train,vol='Garch')

res = am.fit()

res.summary()

#可以看出，此时garch的两个参数都十分显著

#绘制标准化残差，发现残差基本上为平稳的，说明拟合效果较好#绘制条件方差，并在上面绘制原始收益率曲线，发现拟合的效果较好

res.plot()

plt.plot(data,'y-')

# 对样本内的方差进行拟合，发现拟合效果较好

res.hedgehog_plot()

波动率拟合效果

#-----------------------------2.使用GARCH模型预测------------------------------------------

# 波动率模型为：sigmat2 = omega + alpha*at_tminus2 + beta*sigma_tminus2

# 收益率预测为常系数模型：at = rt - mu

# 首先计算at

at_pre = test - res.params[0]

at_pre2 = at_pre * 2

# 接着计算波动率

# 拿出最后两个条件方差

ini = res.conditional_volatility[-2:]

for i in range(10):

    new = res.params[1] + res.params[2]*at_pre2[i] + res.params[3]*ini[-1]

    ini = np.append(ini,new)

vol_pre = ini[-10:]

vol_pre

# 绘图比较原始数据，条件方差，及10步预测方差，发现预测效果较好

plt.figure(figsize=(15,5))

plt.plot(data,'y-',label='origin_data')

plt.plot(res.conditional_volatility,label='conditional_volatility')

x=range(3611,3621)

plt.plot(x,vol_pre,'.r',label='predict_volatility')

plt.legend(loc=0)

样本内&样本外波动率预测

上图中，数据总长度为3622日，我们使用3612日作为train集，10日作为test集。对3612日进行波动率建模，并对剩余10日进行波动率预测。将条件方差和原始收益率曲线绘制在一起，可以发现，garch(1,1)模型对波动率取得了较好的估计效果。

参考文献：

1. Financial Econometrics Notes, Kevin Sheppard, Oxford University

2. Analysis of Financial Time Series 3rd Edition, Ruey S. Tsay