单应矩阵求解推导过程

单应矩阵的定义是一个平面到另一个平面的映射

如上图所示，O1与O2时相机不同位姿下两个相机坐标系的原点，R和T分别表示两个坐标系之间的旋转和平移矩阵，平面p上的一点在两个坐标系下的的坐标为X1和X2，投影到像素坐标分别为x1和x2。设平面p的法向量为n，并且p到坐标系O1的距离为d，则p可以表示为

将这个式子变换为

与此同时，X1与X2的关系可以表示为

将上述两个式子合并表示成

设两个相机坐标系的单应矩阵为H’，则H’可以表示为

结合上述两个式子，则

为了得到单应矩阵H'，我们需要将X1和X2转换到像素坐标系中，设K为相机的内参数矩阵，则

将（7）代入(4)，得

由于单应矩阵为3x3矩阵，具有尺度不变性，设尺度因子为α，则(8)的归一化表达式为

将(9)展开得

将（12）与（10）和（11）结合得

因为单应矩阵得自由度为8，因此只需要四对匹配点就可以求解相机的单应矩阵，然而由于图像中存在许多动态特征点和噪声点，求解的单应矩阵鲁棒性较差。