利用等腰直角三角形的性质求证线段位置关系

关于等腰直角三角形的性质，我在此前已经介绍过，再简单说一句，等腰直角三角形的两直角边相等，两底角的度数都是45°。反之如如一个等腰三角形的两底角度数都是45°，或一个直角三角形两个余角的度数都是45°，这个三角形就是等腰直角三角形。

我们今天就利用等腰直角三角形的这些性质来求证一道线段位置关系的题。

如图：在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点（CA>2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F。若点G在线段CF上，CG=BD，连接DG。判断DG与BC的位置关系并证明。

做这类题就需要我们“大胆猜想，小心求证”。

从图中，我们可以大胆地猜想出GD与BC的位置关系是垂直。

接下来就是进行小心求证。

从题中给出的条件可知D点位置在AC的上半段，CD取最大值时，D点也到不了中点位置。如图二，我们试着连接BG，与AC交于点I。如果我们能证明∠6=45°，就可以得到GD∥AB，推知GD⊥BC。

我们来看△ABD和△BCG，从已知条件可知AB=AC，BD=CG，

如果能证明∠ABD=∠BCG，就可以证明△ABD≌△BCG

因为CE⊥BE，所以∠3+∠4+∠5=90°

又因为∠ABC=90°，所以∠1+∠2+∠3=90°

所以∠1+∠2=∠ABD=∠3+∠4=∠BCG

所以△ABD≌△BCG，AD=BG，∠7=∠CBG=45°

所以∠1=45°

△ABI是等腰直角三角形，AI=BI，∠AIB=90°

GI=BG-BI=AD-AI=DI

所以△DGI是等腰直角三角形，∠6=45°

因为∠6=∠7=45°

所以GD∥AB

因为AB⊥BC

所以GD⊥BC

还可以如图三，延长GD交BC于H，如图三，求证△BGH是等腰直角三角形，∠GHB=90°。

以上是我对这道题的证明，希望对路过的朋友有所帮助，更期待您有更简单的方法。