2019-09-27 Seminar (TBA I)

开始进入这学期讨论班的主要内容：Thermodynamic Bethe Ansatz (TBA)。
为了更好地理解这个方法，还是找了一个不在AdS/CFT背景下解释TBA的讲义。

之前讲到Bethe equation一般是对于finite degree of freedom N或者finite size L的体系讨论的，一个主要的结果就是可以把观测量比如动量，能量等表示成bethe root的函数。
TBA就是考虑当N或者L趋于无穷的时候系统的性质。从TBA我们主要可以得到两个结果：1是我们可以得到系统的热力学信息, 也就是利用统计学的知识加上系统量子态的信息得到系统的热力学量比如自由能。2是利用写解析的性质可以得到在有限体积下系统的精确的基态还有一些激发态。这次是用4个例子来说明熟悉第一点。

1 free fermi gas
对于自由的理论，S-matrix是trivial的，所以Bethe equation就是动量的quantization condition。
从这个quantization condition出发，我们得到系统的态密度，对于自由理论，这个态密度是个常数，在ground state的时候，所以fermions填满Dirac sea。温度升高的时候，会有fermion跳到更高的能量态，从而在Dirac sea里面留下hole，所以系统的态密度就等于fermion的密度加上hole的密度。态密度已经由quantization condition取连续化得到，我们的目的就是求在热平衡下fermion的密度分布，热平衡的条件就是自由能相对于fermion的密度分布取极值。根据这个条件我们就会发现，得到的分布正好是fermi-dirac 分布。要用到这个条件，我们先要把自由能表示成密度分布的函数，这就需要教科书上标准的统计知识。
2 The Lieb-Liniger model （Bose gas with delta-function interaction）
还是从Bethe equation 出发，这个equation还是可以看成是 动量的 quantization condition，只不过多了散射的贡献。对于这个简单的model，bethe root就是动量本身！因为有了散射的贡献，态密度不再是常数了，但是我们还是引入hole的概念。从而重复之前的，利用统计学的知识得到自由能，对粒子密度分布求变分得到热平衡条件从而求解粒子密度分布。所以最后我们需要真正算的东西就是解热平衡条件得到的方程，因为我们输入的是Bethe equation，里面涉及了一个态和所有其他态的散射，这就到导致了一个积分形式的贡献，从而热平衡条件给出的方程是一个积分方程，可以称为TBA equation。

从这两个简单的例子发现，在得到态密度的表达式后接下来的流程都是标准的统计力学的流程。这不禁要问，可积性起到了什么作用？可积性是给出了态密度，或者说动量的量子化条件，也就是动量相对于量子数的谱。

3 Heisenberg spin chain XXX
这是我们反复遇到的例子了，按照套路还是直接写下Bethe equation。根据之前的思想，我们应该把它看成 quantization condition。但问题是 quantization condition for what particle？ 肯定不是组成spin chain 的spin，而是这个系统的激发。
我们考虑的是SU（2）XXX model，可以想象，系统对应的激发应该对应所有SU（2）群的不可约表示。这个怎么从Bethe equation 看出来呢？这时动量不再是bethe root 了，而是bethe root的function，这是另外一个比之前的model复杂的点。
从上次S-matrix的理论学到的知识可以知道，这些激发对应bound state，反应在S-matrix的pole里，要得到这些pole就要把bethe root合理的组合，从而所有Bethe equations是互相自洽的。最后我们发现bethe root自动组成string，在string里的bethe root都由同一个real number加上某一个pure imaginary的倍数构成。和之前的例子差不多是自由的激发也可以看成长度为1的string。总结一下就是，XXXspin chain的激发是各种长度的string。这里有一个string hypothesis，因为string是bound state，所以所有的热力学性质都是由他们来决定。
所以就要写下对于所有string的Bethe equation，从而得到他们的quantization condition，然后再利用统计力学的知识得到其他热力学量。因为这次我们不但要考虑同种string之间的散射，还有不同string 之间的散射，所以在TBA 方程里不但有积分还有一个无穷的求和。再次强调一下，对于每个string我们都有一个TBA equation，所以TBA equation是积分方程并且一共有无穷多个，而且每一个里面都一个无穷的求和。
解这个方程看起来也是十分困难的。但是好在我们有一个简化的版本，Y-system，是一个无穷多个functional equation，每个equation里面没有无穷的求和。
能把无穷的求和消掉的原因是我们用到了之前在S-matrix里面bootstrap的一个思想：bound state都是有基本的激发构成的，所以bound state之间有一些fusion rule。我们也可以从群论的角度来理解。如果基本的激发代表基本表示，那么所有的string都是由基本表示复合出来的高价表示。不同的表示相乘的时候可以换成一些表示的求和也就是fusion rule。并且同样的一种构型可以由不同的fusion来得到，所以这就提供了无穷多个等价关系。正好可以用来消除TBA里面的无穷求和。

4 Gross-Neveu model
这个和之前XXX理论基本相同，唯一不同的是，这里我们要使用nested Bethe equation，简单来说就是quantization condition变得更加复杂一些，并且需要引入auxiliary excitation。但是处理方法和之前完全相同。