P1523 旅行商简化版, 路径dp

P1523 旅行商简化版 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

这是一道很有启发意义，代表性的难题

题目背景

欧几里德旅行商(Euclidean Traveling Salesman)问题也就是货郎担问题一直是困扰全世界数学家、计算机学家的著名问题。现有的算法都没有办法在确定型机器上在多项式时间内求出最优解，但是有办法在多项式时间内求出一个较优解。

为了简化问题，而且保证能在多项式时间内求出最优解，J.L.Bentley 提出了一种叫做 bitonic tour 的哈密尔顿环游。它的要求是任意两点 (a,b) 之间的相互到达的代价 dist(a,b)=dist(b,a) 且任意两点之间可以相互到达，并且环游的路线只能是从最西端单向到最东端，再单项返回最西端，并且是一个哈密尔顿回路。

题目描述

本题为著名的 NPC 难题的简化版本。

现在笛卡尔平面上有 n(n≤1000) 个点，每个点的坐标为(x,y)，（−231

输入格式

第一行一个整数 n。

接下来 n 行，每行两个整数 x,y，表示某个点的坐标。

输入中保证没有重复的两点，保证最西端和最东端都只有一个点。

输出格式

一行，即最短回路的长度，保留 2 位小数。

输入输出样例

输入 #1复制

7
0 6
1 0
2 3
5 4
6 1
7 5
8 2

输出 #1复制

25.58

说明/提示

题目来源

《算法导论（第二版）》 15-1

解析：

题目意思：给定一堆点，求从左到右两天不相交的路径（起点和终点除外）的最小权值和。

将点按横坐标排序；将集合划分为 f[i][j] 两个不从不漏的子集，表示：第一条路经以第 i 个点为终点，第二条路径以第 j 个点为终点，且除起点外严格不相交的两条路经的权值的最小值。

由于 f[i][j]==f[j][i],所以我们让 i>j；

根据划分的含义，状态 f[i][j] 可由一下状态转移而来：
当 i=j+1 时：f[j][k] (k=1,……,j-1);

当 i>j+1 时：f[i-1][j];

我是用的是顺推的方式，这里介绍一个更简洁的逆推的方法：题解 P1523 【旅行商简化版】 - 梦想家的憩息所 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

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