AcWing 730. 机器人跳跃问题 题解

题目

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思路：有单调性、二分性，记得用二分

• 我们发现不管机器人在第$k$个位置处的能量E与第$k+1$个位置处的高度$H(k+1)$有何大小关系，递推式都是$E_{k+1}=2\times E_k-H(k+1)$
• 在整个过程中，能量$E$都不能小于$0$才算成功，则在任何位置处$E_{k+1}=2\times E_k-H(k+1)\ge 0$都要成立
• 如果初始时$E=E_0$可以成立，那么$E=E_1>E_0$时，仍然会成立。
  这体现了$E$的取值满足一个单调性（单调增）和二分性，即存在一个边界，边界的一边不满足条件，边界的另一边满足条件
  上述单调性的证明：
  
  因此可以使用二分法，在$E$的所有可能取值中，找到$E\ge E_0$的边界（$E_0$为符合条件的最小值）
• 二分的$check$函数怎么写呢?
  对每一个$E$初值，检验其在每个建筑时的能量，如果都大于0，则符合条件
  那其实也是没有必要遍历所有的建筑，只要有某处的能量值大于所有建筑中的最高高度，后面就都满足条件了
  假设最高的建筑高为$maxh$，某处的能量$E\ge maxh$
  则在它后面一个建筑的能量为
  $E_{next}=2\times E-h_{next}$
  $=E+E-h_{next}$
  $\ge E+maxh-h_{next}$
  $\ge E$
  $\ge maxh$
  即从这个建筑开始，后面的能量都将$\ge maxh$，不会有小于$0$的情况出现。
• 为什么要在 $0$ 到 $maxh$ 之间进行二分？
  由上面的证明可知，如果$E$初值取$maxh$，则所有建筑处的能量必然满足条件，且能量都$\ge maxh$，我们要求的是“最小”，这是绰绰有余的上界，因此可以作为二分上界。
  如果初始情况为$0$,这是一种最小的极端下界，也即假定所有建筑的高度也为$0$,这种情况才能符合条件，但是往往所有建筑物的高度会比这个大，所以可以作为二分下界

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代码

#include
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int h[N];
int n,Max=-1;
bool check(int e)  //传过来的e就是第0个建筑处的初值
{                  //进入循环就直接从第一个建筑处的能量开始判断了
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        e=2*e-h[i];   
        if(e>=Max) return true;  //过程中有点的能量大于建筑物高度的最大值了，就不用往后再递推判断了，一定符合条件的
        if(e<0) return false;      //过程中如果有点的能量<0，则不符合条件
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&h[i]);
        Max=max(Max,h[i]);    //找到所有建筑高度的最大值
    }
    int l=0,r=Max; //E要取最小满足条件的，可以想到在0和建筑物高度最大值之间，但其实更保险的可以取100000
    while(l<r)   //二分出E的结果
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d",l);
    return 0;
}

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