KL变换（PCA主成分分析）

K-L 变换

在机器学习学习中若存在维度过高的向量，则不利于分析向量的样本的方差与均值

原理分析

K-L变换的本质是寻找一个算子$U$，通过$Y=UX$，其中$Y$为$X$降维后的结果。

存在一个样本集$X=\{x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\}$，其中$x_i$为$n$维向量，为了使$\{X\}$降低维度

设存在一个线性变换$U$，使得$ y_i=U x_i$，其中$y_i$为$k$维向量，

为了使$Y$各个特征最大的限度分开，我们应该从中$n$个特征中选择$k$个最大限度可分不重叠的特征。其中各个线性可分的特征应该是不相关的，即他们的相关系数为0。可推出它的协方差为0。

相关系数：
$${\rho }_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$$
协方差矩阵：
$$E_{ij}=\frac{1}{m}(x_i-\bar{x})(y_j-\bar{y})$$

E = [ E 11 E 12 … E 1 n E 21 E 22 … E 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E n 1 E n 2 … E n n ] E= \begin{bmatrix} E_{11}&E_{12}&\dots&E_{1n}\\ E_{21}&E_{22}&\dots&E_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ E_{n1}&E_{n2}&\dots&E_{nn} \end{bmatrix} E= ​E11​E21​⋮En1​​E12​E22​⋮En2​​……⋱…​E1n​E2n​⋮Enn​​ ​

**目标：**将一组 $n$ 维向量降为 $k$ 维，其目标是选择 $k$个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各变量两两间协方差为 0，而变量方差则尽可能大。

因为$Y$的特征要尽可能的无关，则$E_{ij}=0,i\ne j$

由此$Y$的相关系数矩阵为一个对角矩阵
$$E=E(y{y}^T)=E(UX{X}^{T}U)$$
其中$X{X}^T$为实对称矩阵，它一定存在$n$个特征向量，且相互可以正交。

令$$W=E(X{X}^T)$$，则一定满足$W\eta =\lambda \eta$，$\eta$与$\lambda$分别为特征向量与特征值，取前$k$大的特征值对于的特征向量，并进行归一化，记为$U$
U W U T = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] UWU^T= \begin{bmatrix} \lambda_1&&&&\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{bmatrix} UWUT= ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​

即通过K-L变换，实际上是找到了一个新的坐标系，在这个坐标系中，数据的协方差矩阵是对角的，而且对角线上的元素是原始数据协方差矩阵的特征值，这些特征值对应的特征向量则构成了新坐标系的基向量。

步骤

1. 计算 $X{X}^T$的协方差矩阵$E(X{X}^T)$，并记为$W$
2. 计算$W$的特征值与特征向量
3. 取前$k$大的特征值对于的特征向量，并进行归一化，记为$U$
4. 利用$x_i^{\prime }=U{x}_i$进行降维度处理

示例

有样本集 w 1 = { ( 0 0 0 ) , ( 1 0 0 ) , ( 1 0 1 ) , ( 1 1 0 ) } w_1=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\} w1​=⎩ ⎨ ⎧​ ​000​ ​, ​100​ ​, ​101​ ​, ​110​ ​⎭ ⎬ ⎫​, w 2 = { ( 0 0 1 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 1 1 ) , ( 1 1 1 ) } w_2=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\} w2​=⎩ ⎨ ⎧​ ​001​ ​, ​010​ ​, ​011​ ​, ​111​ ​⎭ ⎬ ⎫​,请用K-L变换将特征降至2维和1维，并画出在该空间中的位置

1、计算样本均值

$w_1$的均值$u_1=(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}{)}^T$

$w_2$的均值$u_2=(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}{)}^T$

总体样本的均值$u=\frac{1}{2}(u_1+u_2)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}{)}^T$

2、去中心化
w 1 − u = { ( − 1 2 − 1 2 − 1 2 ) , ( 1 2 − 1 2 − 1 2 ) , ( 1 2 − 1 2 1 2 ) , ( 1 2 1 2 − 1 2 ) } w_1-u= \left\{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end {pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\right\} w1​−u=⎩ ⎨ ⎧​ ​−21​−21​−21​​ ​, ​21​−21​−21​​ ​, ​21​−21​21​​ ​, ​21​21​−21​​ ​⎭ ⎬ ⎫​

w 2 − u = { ( − 1 2 − 1 2 1 2 ) , ( − 1 2 1 2 − 1 2 ) , ( − 1 2 1 2 1 2 ) , ( 1 2 1 2 1 2 ) } w_2-u= \left\{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \end{pmatrix}\right\} w2​−u=⎩ ⎨ ⎧​ ​−21​−21​21​​ ​, ​−21​21​−21​​ ​, ​−21​21​21​​ ​, ​21​21​21​​ ​⎭ ⎬ ⎫​

令$X=\{w_1-u,w_2-u\}$
E ( X X T ) = 1 8 ∑ x i x i T = [ 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 ] E(XX^T)=\frac{1}{8}\sum x_ix_i^T= \begin{bmatrix} \frac{1}{4}&0&0\\ 0&\frac{1}{4}&0\\ 0&0&\frac{1}{4} \end{bmatrix} E(XXT)=81​∑xi​xiT​= ​41​00​041​0​0041​​ ​
计算特征值与特征向量
λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 4 , [ η 1 , η 2 , η 3 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{4},\quad [\eta_1,\eta_2,\eta_3]= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} λ1​=λ2​=λ3​=41​,[η1​,η2​,η3​]= ​100​010​001​ ​
选取 U 1 = [ η 1 , η 2 ] = [ 1 0 0 1 0 0 ] , U 2 = [ η 1 ] = [ 1 0 0 ] U_1=[\eta_1,\eta_2]=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},U2=[\eta_1]=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} U1​=[η1​,η2​]= ​100​010​ ​,U2=[η1​]= ​100​ ​
x 1 ′ = U 1 T x 1 = [ 1 0 0 0 1 0 ] ⋅ [ − 1 2 − 1 2 − 1 2 ] = [ − 1 2 − 1 2 ] x 1 ′ ′ = U 2 T x 1 = [ 1 0 0 ] ⋅ [ − 1 2 − 1 2 − 1 2 ] = − 1 2 x_1'=U_1^Tx_1= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}\\ x_1^{''}=U_2^Tx_1= \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}= -\frac{1}{2} x1′​=U1T​x1​=[10​01​00​]⋅ ​−21​−21​−21​​ ​=[−21​−21​​]x1′′​=U2T​x1​=[1​0​0​]⋅ ​−21​−21​−21​​ ​=−21​
其余同理可得。

import numpy as np

# 样本数据
w1 = np.array([[0, 0, 0], [1, 0, 0], [1, 0, 1], [1, 1, 0]])
w2 = np.array([[0, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 1, 1]])

u = (w1.mean(axis=0) + w2.mean(axis=0)) / 2

x1 = w1 - u
x2 = w2 - u
x = np.zeros((3, 3))

for i in x1:
    i = i.reshape(3, -1)
    x = x + i @ i.T

for i in x2:
    i = i.reshape(3, -1)
    x = x + i @ i.T

x = x / 8

lambda_value, vector = np.linalg.eigh(x)

U2d = vector[:2]
U1d = vector[0]

x2d_1 = (U2d @ x1.T).T
x2d_2 = (U2d @ x2.T).T

x1d_1 = (U1d @ x1.T).T
x1d_2 = (U1d @ x2.T).T