二叉树（详解初）
日升时奋斗，日落时自省
目录
一、树的结构
二、二叉树
2.1树相关的基本概念
2.2树的代码形式
2.3树的应用
2.4二叉树分析
2.5二叉树的算术特点
2.6二叉树算术练习
2.7二叉树的表示方法
2.7.1前序遍历
2.7.2中序遍历
2.7.3后序遍历
一、树的结构
树的数据结构与树相同，但是根部向上，树枝向下，树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
可见左边的“真”树，右边自然就是我们要学习的树据结构
这里有一个特殊的节点就是根节点了，根节点没有前驱节点
（1）A就是根节点，无前驱节点
（2）除了根节点以外的节点都有后驱，后驱个数0或者n个
（3）树是有递归定义的
树注意：
（1）子树不能相交
（2）每个子树只能有个父亲节点
（3）有n个节点的树，有n-1条边
二、二叉树
二叉树就是树的基础上加上了一定的限制条件
2.1树相关的基本概念
1、结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为2
2、树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为2
3、叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：D、E、F、G节点为叶结点
4、双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B，也是C的父结点，B是D、E的父节点，C是F、G的父节点
5、孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B、C是A的孩子结点 依次类推是同样的 D、E是B的子节点，F、G是C的子节点
6、根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
7、结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
8、树的高度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为3
9、深度：深度相较于节点，高度是最大的深度，那从B节点来看深度就是2，就相当于把B当成一个根节点B是根节点的一棵树
一下作为了解（知道就行）
（1）非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G节点为分支结点
（2）兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点，D、E也是兄弟节点
（3）堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：E、F互为堂兄弟结点
（4）结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先，B、A都是D的祖先节点，这里B也是D的父亲节点，也是祖先节点
（5）子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
（6）森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
2.2树的代码形式
代码形式可以区分为双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等，这里我们经常看见的是孩子兄弟表示法
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
} 
按照上图的样子，代码呈现的图像技术这个样子
2.3树的应用
文件管理目录
2.4二叉树分析
现在来说二叉树相较于普通的条件，二叉树的度<=2,二叉树中每个子树的度都是<=2的；
二叉树看上去已经是比较特殊，在二叉树中有更特殊的存在
1、满二叉树：每层的节点树都是满的就像之前看到的这课树，这样的树便于我们计算节点个数
如果有一个k层的满二叉树，节点数：
-1
2、完全二叉树：是数据结构中效率很高，它是由满二叉树改变而来的所以如何改变的呢，就是它不一定会有右边节点，但是存在右边节点的话就一定存在左边节点
2.5二叉树的算术特点
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
(i>0)个结点
1、解释：满二叉树最底层可以实现最大节点树，如下图依次类推即可
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(k>=0)
2、解释：如果是满二叉树的话，那就是从我们刚刚看到开始算每一层的节点个数，这里会用到等比求和的公式
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
3、图解：
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度K为
上取整，也可以是
下取整
4、图解：
2.6二叉树算术练习
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（c）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
我们可以用公式n0=n2+1这里已经知道n2=199 n0=200
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）（多个条件节点个数为偶数）
A n
B n+1
C n-1
D n/22n=n0+n2+1=n2+1+n2+1=2*n2+1+1
n2=n-1
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386767是奇数=n0+n2=2*n+1
n2=383
n0=n2+1=384
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12n=10
2.7二叉树的表示方法
通过前面的基础，现在以不同方式再来表示一下不同形式的代码
（1）孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
（2）孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
先建立一棵树来为后续代码铺路
public class TestBinaryTree {
static class TreeNode{
public char val; //数据
public TreeNode left; //左孩子
public TreeNode right; //右孩子
public TreeNode(char val){ //构造方法赋值
this.val=val;
}
}
private TreeNode root;
public void createTree(){ //手动建立一个树
TreeNode A=new TreeNode('A');
TreeNode B=new TreeNode('B');
TreeNode C=new TreeNode('C');
TreeNode D=new TreeNode('D');
TreeNode E=new TreeNode('E');
TreeNode F=new TreeNode('F');
TreeNode G=new TreeNode('G');
TreeNode H=new TreeNode('H');
root=A;
A.left=B;
A.right=C;
B.left=D;
B.right=E;
C.left=F;
C.right=G;
E.right=H;
}
}学习了一种数据结构，我就会想如何遍历它，树的遍历方式有三种，前序遍历，中序遍历，后续遍历
2.7.1前序遍历
可以记住这么一个规则：根->左树->右树
public void preOrder(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
System.out.println(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
前序遍历结果： A B D E H C F G
红色箭头表示每次到递归下去，蓝色表示返回上来，从根到左树，再到右树，如上图依次类推
2.7.2中序遍历
中序遍历规则：左子树->根->右子树
public void inOrder(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.println(root.val);
inOrder(root.right);
}
中序遍历结果： D B E H A F C G
2.7.3后序遍历
后序遍历的规则：左子树->右子树->根
public void postOrde(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
postOrde(root.left);
preOrder(root.right);
System.out.println(root.val);
}
后序遍历结果：D H E B F G C A