LeetCode 2212. 射箭比赛中的最大得分（二进制枚举）

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题目描述

• 2212. 射箭比赛中的最大得分

解法：二进制枚举

为了获得可能的最大得分及其对应方法，可以枚举Bob所有可能的胜负情况，计算每种情况下的得分以及所需要的箭数

由于每个区域只有 Bob 胜或负两种情况，因此可以用一个 n 位的二进制整数 mask 表示所有区域的胜负情况，其中第 i 位为 0 代表 Bob 在得分为 i 的区域中落败，为 1 则代表 Bob 在该区域取胜

维护可能的最大得分maxScore及其对应的二进制状态 state

mask的所有可能取值为$[0,2^n-1]$

算法流程如下：

• 遍历mask所有可能取值

  • 对于每个 mask，遍历它的每一位计算该状态对应的得分 score 和需要的箭数 cnt，如果在该状态下有cnt <= numArrows && socre > maxScore，则更新最大得分maxScore 与对应状态 state

• 根据最大得分对应状态 state 构造一种可行的方法

  • 使用长度为$n$的数组res保存这一方法
  • 枚举state的每一位，若其第i位为1，则res[i] = aliceArrows[i] + 1（为了最大化地利用箭，在每个需要获胜的区域都用尽可能少的箭数取胜）
  • 若枚举完state之后，箭仍有剩余，可以将它放入任意的区域中，不影响最终结果

class Solution {
    public int[] maximumBobPoints(int numArrows, int[] aliceArrows) {
        int n = aliceArrows.length;
        // 可行的最大得分
        int maxScore = 0;
        // 对应状态
        int state = 0;
        // 枚举Bob所有可能情况
        for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
            int cnt = 0;
            int score = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (((mask >> i) & 1) == 1) {
                    cnt += aliceArrows[i] + 1;
                    score += i;
                }
            }
            if (cnt <= numArrows && score > maxScore) {
                // 可行，更新当前最大得分及对应状态
                maxScore = score;
                state = mask;
            }
        }
        int[] res = new int[n];
        // 通过状态构造出可行方法
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (((state >> i) & 1) == 1) {
                res[i] = aliceArrows[i] + 1;
                numArrows -= res[i];
            }
        }
        // 箭仍有剩余则放入任意区域皆可
        res[0] += numArrows;
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n\times 2^n)$，其中 $n$ 为箭靶的数量，在本题中 $n=12$。所有的得分状态共有 $2^n$ 种，对于单个状态，判断是否可行以及维护最大得分的时间复杂度为 $O(n)$

• 空间复杂度：$O(1)$

Reference

• 射箭比赛中的最大得分