【算法学习】分治法应用—归并排序

归并排序是分治思想的运用。

基本思想：分治之美

将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。

归并排序（Merge Sort） 是分治思想的经典应用。其核心理念是：

1. 分解：将复杂的大问题分割成简单的小问题
2. 解决：逐步解决小问题
3. 合并：将解决后的小问题结果组合成最终解

核心口诀：分、治、合！

核心算法

✂️分治流程：

1. 分割阶段：将待排序数组递归地分成两个大小近似的子数组
2. 排序阶段：分别对这两个子数组进行排序
3. 合并阶段：将已排序的子数组合并成一个有序数组

// 归并排序
void MergeSort(Type a[], int left, int right)
   {
      if (left<right) //至少有2个元素
      { 
        int i=(left+right)/2;  // 取中点
        mergeSort(a, left, i); // 处理左半边
        mergeSort(a, i+1, right); // 处理右半边
        merge(a, b, left, i, right);  // 合并到数组b
        copy(a, b, left, right);      // 复制回数组a
      }
   }

️过程演示

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⌛分步实现

1. 确定分界点

// 确定分界点
  int mid = (l + r) >> 1; // 求中点坐标

• 归并排序每次都是分成大致相同的两部分，所以分界点是 $\frac{1}{2}$ 处。

小技巧：使用右移运算符>>代替除法，计算更高效

2. 递归处理子问题

  // 递归处理子问题
  mergeSort(a, l, mid); // 处理半左区间
  mergeSort(a, mid + 1, r); // 处理半右区间

• 分治法都是通过递归处理子问题。

递归精髓：将大问题不断拆分，直到问题足够小（通常是1-2个元素）

3. 合并子问题

 // 合并子问题
  int i = l, j = mid + 1;
  int k = 0;
  while (i <= mid && j <= r) // 直到有一半区间遍历完
  {
    if (a[i] <= a[j])
      temp[k++] = a[i++];
    else
      temp[k++] = a[j++];
  }

  // 扫尾：将剩余的元素加到中间数组后
  while (i <= mid)
    temp[k++] = a[i++];
  while (j <= r)
    temp[k++] = a[j++];

合并技巧：总是选择两个子数组中最小的元素

经过步骤2对左右区间进行递归处理后，左右两个子区间都是有序的，这里通过两个指针i和j分别遍历左右子区间，比较当前元素大小，把较小的元素依次放入临时数组temp。最后，把左右子区间剩余的元素也都放入temp。
故扫尾时直接将剩余的元素加到中间数组后

  // 将合并后的数组赋值给原数组
  for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j)
    a[i] = temp[j];
}

注意：这里复制的赋值是从递归的起始位置l开始的，因为每次排序只是针对l到r这个范围的区间进行的

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⌨️完整代码

#include 

using namespace std;

const int N = 100005; // 最大n的范围
int n;
int a[N], temp[N]; // 待排序数组和中间数组

void mergeSort(int a[], int l, int r)
{
  // 递归结束条件：到达原子问题
  if (l >= r)
    return;
  // 确定分界点
  int mid = (l + r) >> 1;
  // 递归处理子问题
  mergeSort(a, l, mid);
  mergeSort(a, mid + 1, r);

  // 合并子问题
  int i = l, j = mid + 1;
  int k = 0;
  while (i <= mid && j <= r)
  {
    if (a[i] <= a[j])
      temp[k++] = a[i++];
    else
      temp[k++] = a[j++];
  }

  // 扫尾
  while (i <= mid)
    temp[k++] = a[i++];
  while (j <= r)
    temp[k++] = a[j++];

  // 将合并后的数组赋值给原数组: 注意这里的赋值是从递归的起始位置l开始的，因为每次排序只是针对l到r这个范围的区间进行的
  for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j)
    a[i] = temp[j];
}

int main()
{
  cin >> n;

  for (int i = 0; i < n; ++i)
    cin >> a[i];

  mergeSort(a, 0, n - 1); // 归并排序：从0开始，到n-1结束

  for (int i = 0; i < n; ++i)
  {
    cout << a[i] << ' ';
  }

  return 0;
}

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性能分析

• 时间复杂度

最好/平均/最坏：$O(nlogn)$
稳定且高效的排序算法

• 空间复杂度

$O(n)$：需要额外的临时数组空间

❓常见问题

• 内存溢出
  如果数据量非常大，可能会因为临时数组占用太多内存导致内存溢出。解决办法可以考虑使用外部排序，或者优化临时数组的使用，比如复用临时数组。
• 小数组性能
  在处理小数组时，归并排序的递归开销可能会使性能不如一些简单的排序算法，比如插入排序。可以在小数组时切换到插入排序来提高性能。

优化建议

• 减少递归深度
  在数据量较小时，使用迭代的方式代替递归，减少栈空间的使用。
• 优化合并操作
  在合并时，可以提前判断是否左半部分已经全部小于右半部分，如果是，就可以直接跳过合并操作，提高效率。

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这样，我们就完成了对归并排序的学习啦！希望大家都能掌握这个强大的算法。
如果在学习过程中有任何问题，欢迎在评论区留言交流哦！