向量空间
向量空间的概念
向量空间表示一整个空间的向量，然而，这并不意味着任意向量的集合就能被称为向量空间。所谓向量空间，必须满足空间对线性运算封闭（也即是相加和数乘）这一原则。
举个例子，就是一个向量空间，它表示所有的二维实向量，如果你对它们做线性运算，会发现得到的结果仍然位于空间中，反应在图像上如图所示：
很明显，向量空间构成了一个平面，均在的实数二维向量空间中，对它们做线性运算，得到的结果仍然在空间中。这个向量空间存在的关键在于，平面上任何向量都在向量空间中，尤其零向量。因为线性运算是“数乘”和“相加”，而任何向量乘上或者加上其相反的反向向量得到的都是零向量，所以零向量必然存在于所有向量空间中。
推广到高维空间中，则空间中包含所有的维向量，每个列向量中有个分量，且分量均为实数。
- 那么如果我们把坐标平面上的第一象限单独拿出来，这个区域仍然是向量空间吗？
不是的，因为该空间无法满足“线性组合仍在空间中”的要求，比如做数乘运算时，随便取个负数得到的向量就会位于第三象限，因此空间不能称为向量空间，也就是说，在向量空间中任取一部分，得到的结果可能不是向量空间。
- 那么是否我们在一个向量空间中取子区域一定无法构成向量空间呢？
也不是的。例如图2，我们在二维向量空间中取一条过原点的直线，即可得到二维向量空间中的子空间，这条直线上的任意向量，进行线性运算后所得到的结果依然在这条直线上，并且过原点，包含了零向量，因此它是一个子空间。相反，如果这个直线不过原点，那么就不能称为子空间，因为它不包含零向量。
除此之外，空间中还存在其他子空间，比如零向量本身也是一个子空间。推广至三维，我们就可以得到空间中的子空间：（1）过原点的平面；（2）过原点的直线；（3）零向量。
- 那么两个向量空间的并集，其结果可以构成子空间吗？
答案是否定的，假设我们有一条过原点的直线和一个过原点的平面（直线不在平面上），二者均可以视作向量空间，而两者的并集并不能满足线性运算封闭，因为在直线上任取一向量，在平面上认取一向量，两向量的和会位于直线与平面之间，脱离了两空间并集的范围。
- 那么两个向量空间的交集，其结果可以构成子空间吗？
答案是肯定的，因为两个向量空间本身就必包含零向量，并且已经称为向量空间，其交集的条件将更为严苛，也必满足两个向量空间的条件，因此可以构成一个子空间。如上一个例子，直线和平面的交基是零向量，零向量依然为向量空间。
列空间与零空间
以上向量空间都是通过图像的形式来描述的，但是对于高维度，我们无法通过作图的方式来绘制其图像，因此需要借助矩阵来描述向量空间。
列空间
列空间是指由矩阵的列向量所构造出的空间。
例如，矩阵的列向量均是空间中的四维向量，所以可以说的列空间是的子空间。在这个列空间中，除了包含了三个列向量外，还包含了它们的各种线性组合，也就是说，A的列空间是由三个向量所张成的子空间。那么这个空间有多大呢？这就需要用来解释了。
Ax=b的空间解释（从A的角度）
还是以为例，假设有一个方程如下：
那么第一个问题是这个方程是否有解？
我们看到，我们可以把方程改写成如下形式：
的本质就是对的列向量进行线性组合，或者可以认为，就代表着的列空间。显然，三个四维向量的线性组合是无法填满整个四维空间的，就如同两个三维向量无法张成一个三维空间一样。因此，这里的只能是空间的部分子空间，也就是说，无法保证任意拿出一个四维向量，都能找到列向量的一种线性组合，使。
第二个问题是什么样的可以使有解？
上面介绍过，的本质就是对的列向量进行线性组合，也是的列空间，且是空间中的子空间，那么只要向量位于矩阵的列空间中，就可以找到一种由的列向量通过线性组合来构成的向量，也就使得有解。
第三个问题是能否去掉中的一列，却不影响的列空间呢？
首先来观察这三个向量，显然满足等式：，也就是说第三列向量本身就是前两列向量的和，因此第三列向量对张成空间没有做任何贡献，仅仅依靠前两列就足以构成的列空间，我们称前两列为主列，所以去掉第三列不影响的列空间的构成。最后，从矩阵的角度，的列空间可以描述为中的二维子空间。
零空间
零空间是的所有解所构成的一个空间。
我们还是以为例，其零空间就是下面这个方程的解所构成的空间：
由于零空间是解所构成的空间，因此我们要从的角度来看，可以看到有三个分量，所以其零空间是的子空间。所以，对于的矩阵来说，列空间是的子空间，零空间是的子空间。列空间取决于列向量的维数，零空间取决于列向量的个数。
那么我们来验证一下为什么可以构成向量空间呢？首先它满足了加法封闭：在零空间中任取两向量，都有，显然，所以向量也属于零空间。其次它满足了数乘封闭：还是在零空间中任取一向量，，则。由于矩阵和常数的位置可以交换，所以，所以向量也在零空间中。
回到我们的示例，我们知道矩阵中的三个向量，显然满足等式：，因此我们可以直接写出的一个解：，所以其零空间即为（为任意常数），反应在图像上，就是中的一条过原点的直线。
Ax=b的空间解释（从x的角度）
如果将构造零空间的方程中等号右侧变为任意向量的话，其解还能构成向量空间吗？
显然不是。因为如果我们将代入方程，会发现零向量并不是方程的解，也就是说解集中没有零向量，也就无法构成向量空间，反映在图像上，这里所有的解构成了一个不过原点的平面。这也告诉我们，想从的角度来研究，只有当是零向量时，的解集才能构成空间（零空间），其他情况中连零向量都不在解集中，也就无法构成向量空间了。所有，要么从的列向量入手，已知列向量，根据其线性组合构成子空间，要么从方程入手，从满足条件的的解集来构造子空间。