【考研数学】概率论与数理统计 —— 第六章 | 数理统计基本概念（3，正态总体常见的分布）

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一、一个正态总体

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体的简单随机样本，$\overline{X}$ 与 $S^2$ 分别是该样本的样本均值与样本方差，则有以下几个结论。

1. $\overline{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ ，更一般地有 $$\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$ 其实这个结论，在介绍样本均值时，我就证明过了，可以看这一章的第一篇文章（基本概念），主要是利用了独立和期望以及方差的定义和性质。

2. $$\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1).$$ 和上边结论区分。

3. $$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n).$$

4. $$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1).$$ 注意和第 3 条结论区分。

5. $E(S^2)={\sigma }^2.$

在第一篇文章中有更为一般性的证明，不过有了第 4 条结论，利用它可更为简单地得到。

6. $\overline{X}$ 和 $S^2$ 相互独立。

【例题】 设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i,T=\sum (X_i-\overline{X}{)}^2$ ，求 $E(X_{1}T).$

解： 由第 4 条结论，$(T/{\sigma }^2)\sim {\chi }^2(n-1)$ ，故 $E(T)={\sigma }^2(n-1).$ 由题意，$X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 为简单随机样本，故 $E(X_{1}T)=E(X_{2}T)=\cdots =E(X_{n}T)$ ，于是 $$E(X_{1}T)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_{i}T)=E[\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots X_n)T]=E(\overline{X}T).$$ 由第 6 条结论，$T=(n-1)S^2$ 和 $\overline{X}$ 相互独立，故 $E(\overline{X}T)=E(\overline{X})E(T)=(n-1)\mu {\sigma }^2.$

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二、两个正态总体

设总体 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ ，其中 $X,Y$ 相互独立，其中 $X_1,X_2,\cdots ,X_m$ 为来自总体 $X$的简单随机样本，$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$ 为来自总体 $Y$ 的简单随机样本，令 $$\overline{X}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{X}_1,S_1^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(X_1-\overline{X}{)}^2,\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_1,S_2^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(Y_1-\overline{Y}{)}^2.$$ 有以下几个结论。

1. $$\overline{X}-\overline{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}).$$ 2. $$\frac{(m-1)S_1^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(n-1)S_2^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(m+n-2).$$ 可以和一个正态总体的第四条结论比对。

3. $if{\sigma }^2={\sigma }^2=\sigma ,let$ $$S_w^2=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2},thenwehave$$ $$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{1/m+1/n}{S}_w}\sim t(m+n-2).$$ 可以比对一个正态总体的第 2 条结论。

4. $$\frac{\frac{1}{{\sigma }_1^2}{\sum }_{i=1}^m(X_i-{\mu }_1{)}^2/m}{\frac{1}{{\sigma }_2^2}{\sum }_{j=1}^n(Y_j-{\mu }_2{)}^2/n}\sim F(m,n).$$ 5. $$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(m-1,n-1).$$

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