高中奥数 2021-08-11

2021-08-11-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P005 例7）

图1

如图,设是锐角的边上一点,以线段为直径的圆分别交直线、于点、(异于点、),以线段为直径的圆分别交直线、于点、(异于点、).过点作直线、的垂线,垂足分别为、.求证:相似的充分必要条件是直线过的外心.(2009年中国西部数学奥林匹克)

证明

由已知有、、、及、、、分别四点共圆.

故.

所以.

于是,.

从而,结合,得

.

故.

而由、、、四点共圆知.

又,则

.

直线过的外心.

图2

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P005 例8）

已知中,是三角形内一点满足:.求证:三边长成等比数列.(2010年北大保送生考试数学试题)

证明

图3

如图,过作平行线交,于,,设,.

则,而,图形的全等与相似所以,,且,于是

,(1)

又因,所以

,(2)

再注意到,,所以,

,(3)

由(1)(2)(3)得

,

即,.

所以三边成等比数列.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P006 例9）

给定,设点是外接圆的弧上的一个动点,在射线和上分别取定点和,使得,,再在射线上取点,使得.求点的轨迹.

解

图4

如图,连结、、,在延长线上取点,使.

连结、,因为,,,所以.

所以,.

于是,则,故,.

又,,所以,故,,.

则,于是,这表明位于以点为圆心,为半径的圆上.

当运动到点和点时,割线和分别变为过点和的切线,这时得到的,为轨迹弧的端点.