【概率论】随机试验、随机变量、离散型/连续型随机变量

1. 随机试验

满足以下3个条件的试验可以称为随机试验：

• 相同条件下可重复
• 试验结果明确可知且不只一个
• 试验前不知道哪个结果会发生

例如：我们平时做的抛硬币、掷骰子试验都是随机试验。以抛硬币试验为例：①该试验可以重复进行多次；②试验结果我们明确知道要么正面朝上，要么反面朝上；③在试验开始前我们也不知道哪种结果会发生。因此这是一个随机试验。

2. 随机事件

在一次试验中，可能出现，有可能不出现的结果称为随机事件，常用大写字母A、B、C表示。

例如：在抛硬币试验中，正面朝上是一个随机事件，反面朝上也是一个随机事件，可用A={正面向上}，A={反面向上}表示。

3. 随机变量

将随机试验的结果用一个变量来表示，这个变量就被称为随机变量，常用X、Y、Z来表示。随机变量包含了试验的各种结果。

例子1：在抛硬币试验中，硬币朝上的花色结果是随机变量，用X表示，假设正面朝上为1，反面朝上为0，则X=0,1。

例子2：在掷骰子试验中，掷出的点数是随机变量X，则X=1,2,3,4,5,6；

总之，引入【随机变量】是为了将【随机试验的结果】数量化，这样我们才能用统一的数学语言去进行分析和计算。

4. 随机变量的分类

随机变量分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。

• 离散型随机变量：随机变量X的取值是有限的（或无穷可列的）。
• 连续型随机变量：随机变量X的取值是无限的，是不能逐个列出的。

4.1 离散型随机变量的概率分布

以下是离散型随机变量的概率分布：

其中， $x_k$ 表示随机变量X的k种结果，$p_k$表示在第k种结果下的概率

我们也常用这样的方式表示：

看到这里就很熟悉了吧，

举个例子：有5个球，2个白球，3个红球，从中任取3个，设随机变量X为取到的白球数，求X的概览分布。

4.2 连续型随机变量的概率分布

如果随机变量X的分布函数可以表示为：

其中， $f(x)$ 是非负可积函数，则称X为连续型随机变量，称$f(x)$为概率密度。

再次强调，连续型随机变量的取值是无限多个的，即有无限多个随机变量的结果，且不可以枚举出来。

例如：公交车每30分钟一班，某人的等车时间是一个随机变量X，X的取值范围是[0,30)，可以看出，这是一个区间，而不是某几个点，即X可取在0-30分钟这个时间轴上的任意一点，如3分钟、5分钟7毫秒、7√2分钟等，它是连续的而不是离散的，因此我们称X为连续型随机变量。

下面再来看概率密度，由于连续型随机变量计算某个点的概率没有意义，需要计算的是某个区间的概率，因此引入了概率密度。我们可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。下面这张图的阴影面积就是X在[a,b]区间上的概率。