概率论第二章//随机变量及其分布
本文进行概率论中随机变量及其分布的总结。
一.总纲
这里主要讨论两种随机变量，离散型和连续型 ，给出分布函数的概念，分布函数与分布律/概率密度之间的转化（对离散型随机变量而言，是分布律；对连续型随机变量而言，是概率密度）。
对于离散型随机变量，给出三种常见的概率分布：
- “0-1”分布；
- 二项分布（n重伯努利）；
- 泊松分布；
对于连续型随机变量，给出三种常见的概率分布：
- 均匀分布；
- 指数分布；
- 正态分布；
最后，给出关于随机变量的函数的分布，主要介绍了已知随机变量(主要针对连续型)的概率密度，求 随机变量的函数的概率密度 的两种方法--推导法和公式法。
二.随机变量的分布函数
1.公式表示
注意：这里是小于等于！
x趋向于负无穷时，分布函数值为0；x趋向于正无穷时，分布函数值为1
2.离散型随机变量的分布函数
一定要注意有无等于号，注意是否加/减单点处的值
每一段的概率值是累积概率，即为小于或等于x的那些处的概率之和
3.连续型随机变量的分布函数
是概率密度在非负区间上的积分，（每段从0一直到当前段的最大值进行积分，是分段积分）
三.离散型随机变量
1.分布律
| 随机变量X | X1 | X2 | X3 | X4 |
| 对应取值的概率P | P1 | P2 | P3 | P4 |
2.(0-1)分布
随机变量X只可能取0与1两个值
它的概率计算为
3.二项分布
独立地，重复地进行n次具有（0-1）分布性质的实验（也叫伯努利实验）
它的概率计算为
k代表当前X的取值，k = 0,1,2...，n代表实验的次数，p代表事件发生的概率
叫做随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X~b(n，p)
4.泊松分布
引入泊松分布的目的是为了近似计算二项分布，参数λ = np（当n>20,p<0.05时，近似效果颇佳）
它的概率计算为
其中λ>0是常数,称X是服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ)
四.连续型随机变量
1.连续型随机变量
称X为连续型随机变量函数，f（x）为非负，可积函数，称其为X的概率密度函数
连续性随机变量单点处的函数值为0，故可不考虑等于号
2.概率密度函数的性质
- 非负
- 实数域上积分为1
- f(x)是连续函数，即分段点左右函数值相等
3.均匀分布
x为其他范围时，f = 0
称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X~U（a，b）
4.指数分布
其中>0为常数，称X服从参数为的指数分布
其分布函数为
指数分布多用于计算产品寿命，具有无记忆性（指在已经使用了s时间的条件下，总共至少能使用s+t时间的概率，与至少能使用t时间的概率相同）
5.正态分布
称X服从参数为 ， 的正态分布（高斯分布），记为X~N（，）
特别的当 = 0， = 1 时，称X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用和来表示
一般通过线性变换，将正态分布化为标准正态分布，然后通过查表解决
五.随机变量的函数
1.离散型
先求出Y的取值，然后把对应的X值的概率相加
2.连续型
1.五步推导法：Fy~PY~PX~Fx~Fx对y求导数
2.公式法（要求函数是单调的才能用）
，其他范围内值为0
其中h(y)是g(x)的反函数，为g(x)趋向于正/负无穷时，取最小的那个值；为g(x)趋向于正/负无穷时，取最大的那个值；