分析力学基本原理介绍5：约束系统与拉格朗日乘数法

哈密顿原理即可被用于完整约束的系统，又可被用于非完整约束的系统。一般情况下，当我们考虑一个只含有完整约束的系统时，我们总是可以利用约束方程消去相应若干个坐标，保证最后剩下的坐标都相互线性独立。但是坐标的虚位移不一定总是线性独立的，这时就需要用新的方法将线性依赖的虚位移消去。这个方法被称为拉格朗日待定乘数法(Lagrange undetermined multipliers)。

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假设系统存在个变量，个完整约束方程，修正后的泛函为

其中为待定变量。

如果待定量与坐标都是独立变量，分别考虑待定量和坐标的变分，我们将得到个方程。

首先考虑待定量的变分，

括号中的变量均为缩写，比如

于是

因为虚变分，所以

可见，计算待定量的变分，我们复原了这个约束方程。

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接下来考虑坐标则有

拉格朗日乘数法的意义就在于，我们通过求解（找出一组特殊的组合系数），使得括号里的总系数为零——只挑选线性独立的虚位移。

因为一共有个约束，所以线性独立的虚位移个数为。

所以我们将得到个形如下述的方程：

，

剩下方程则来自于坐标的虚变分。

上述表达式可以写成：

等式右侧为我们熟悉的广义力。该广义力代表了在该系统中产生约束所需力的大小（约束力的大小）。这是从数学分析中直接得到的结论，约束力的方向则需借助物理分析来获得。