CSP-J 2021普及组题解T2：插入排序

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。假设比较两个元素的时间为 $\mathcal{O}(1)$，则插入排序可以以 $\mathcal{O}(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1,a_2,\dots ,a_n$之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = i; j >= 2; j--)
		if (a[j] < a[j-1]) {
			int t = a[j-1];
			a[j-1] = a[j];
			a[j] = t;
		}

这下面是 Pascal 的示范代码

for i:=1 to n do
	for j:=i downto 2 do
		if a[j]

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

• $1xv$：这是第一种操作，会将 $a 的第 xx 个元素，也就是 $a_x$的值，修改为 $v$。保证 $1\le x\le n$，$1\le v\le 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

• $2x$：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 $a$ 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$，在排序后的新数组所处的位置。保证 $1\le x\le n$。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行，包含两个正整数 $n,Q$，表示数组长度和操作次数。
第二行，包含 $n$ 个空格分隔的非负整数，其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。

接下来 $Q$ 行，每行 $2\sim 3$ 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输入样例

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出样例

1
1
2

朴素版（50分）

算法思想（模拟+插入排序）

根据题目要求，可以直接模拟两种操作：

• 操作$1$直接修改数组$a$下标为$x$位置的值
• 操作$2$需要对数组$a$进行插入排序，然后给出原来位置$x$上的数字经过排序后的新位置。那么在排序的过程中，需要将每个数字原来的位置和排序后的新位置一一对应起来。因此可以使用两个数组完成这一任务：
  • 数组$p$——记录排序后每个位置上的数字其原来的位置，即p[i]表示排序后i位置的数在原数组p[i]位置上；
  • 数组$np$——记录原数组每个位置上的数字在排序后的新位置，即np[i]表示原数组i位置的数在排序后的数组np[i]位置上

除此之外，由于题目中要求操作$2$不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。因此在每次排序前，需要将数组信息备份下来，排序输出后在还原回来。

代码实现

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 10010;

//p[i]表示排序后i位置的数在原数组p[i]位置
//np[i]表示原数组i位置的数在排序后的数组np[i]
int a[N], b[N], p[N], np[N], bp[N], bnp[N];
int n, q;

int main()
{   
    cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        np[i] = p[i] = i;
    }   
    while(q --)
    {
        int op, x, v;
        scanf("%d%d", &op, &x);
        if(op == 1)
        {
            scanf("%d", &v);
            a[x] = v;			
        }
        else
        {
        	//备份
            memcpy(b, a, sizeof a);
            memcpy(bp, p, sizeof p);
            memcpy(bnp, np, sizeof np);            
            //插入排序
            for(int i = 2; i <= n; i ++)
                for(int j = i; j > 1 && a[j] < a[j - 1]; j --)
                {
                    swap(a[j], a[j - 1]);
                    np[p[j]] = j - 1, np[p[j - 1]] = j;
                    swap(p[j], p[j - 1]);
                }
            printf("%d\n", np[x]);  
            //还原          
            memcpy(a, b, sizeof b);
            memcpy(p, bp, sizeof bp);
            memcpy(np, bnp, sizeof bnp);
        }
    }   
}

优化版（100分）

算法思想

通过分析插入排序的算法实现可以发现，在排序之后如果修改了某个位置上的数字，只需在该位置向前（或者向后）再调整一遍即可完成排序，时间复杂度为$\mathcal{O}(n)$。

根据这一发现，那么在每次操作$1$后，都进行一次调整（向前或者向后，二选一），在调整过程中维护好数组$p$和$np$，那么对于操作$2$就可以直接输出np[x]。

注意：在调整过程中，由于插入排序是稳定的排序算法，那么对于相等的元素要保持之前的先后关系，即原来位置在前的还是在前。

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 10010;

//p[i]表示排序后i位置的数在原数组p[i]位置
//np[i]表示原数组i位置的数在排序后的数组np[i]
int a[N], p[N], np[N];
int n, q;
//向前调整
void forward(int k)
{
    for(int i = k; i > 1 && a[i] <= a[i - 1]; i --)
    {
    	//如果相等，需要判断原来位置的前后关系，从而保证插入排序的稳定性，即原来在前的还是在前
        if(a[i] == a[i - 1] && p[i] > p[i - 1]) continue;
        swap(a[i], a[i - 1]);
        np[p[i]] = i - 1;
        np[p[i - 1]] = i;
        swap(p[i], p[i - 1]);
    }
}
//向后调整
void backward(int k)
{
    for(int i = k; i < n && a[i] >= a[i + 1]; i ++)
    {
    	//如果相等，需要判断原来位置的前后关系，从而保证插入排序的稳定性，即原来在后面的还是在后面
        if(a[i] == a[i + 1] && p[i] < p[i + 1]) continue;
        swap(a[i], a[i + 1]);
        np[p[i]] = i + 1;
        np[p[i + 1]] = i;
        swap(p[i], p[i + 1]);
    }
}

int main()
{    
    cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        np[i] = p[i] = i;
    }
    
    //插入排序
    for(int i = 2; i <= n; i ++) forward(i);    
    while(q --)
    {
        int op, x, v;
        scanf("%d%d", &op, &x);
        if(op == 1)
        {
            scanf("%d", &v);
            int k = np[x];
            a[k] = v;
            //更新后，向前或向后进行调整
            forward(k);
            backward(k);
        }
        else printf("%d\n", np[x]);
    }
}