算法与数据结构（3）：基本数据结构——链表，栈，队列，有根树

原本今天是想要介绍堆排序的。虽然堆排序需要用到树，但基本上也就只需要用一用树的概念，而且还只需要完全二叉树，实际的实现也是用数组的，所以原本想先把主要的排序算法讲完，只简单的说一下树的概念。但在写的过程中才发现，虽然是只用了一下树的概念，但要是树的概念没讲明白的话，其实不太好理解。所以决定先介绍一下基本的数据结构，然后下一篇文章再介绍堆排序。读书人的事，怎么能叫鸽呢？这是战略调整，战略调整懂不懂？我给你说，上古大儒图灵说过asdfghjkl!/.,;’’

不鸽了不鸽了，下次一定。

链表

链表是一种非常非常非常重要的数据结构，与数组有很多相似性，例如其中的各对象均按线性顺序排列。他们最重要的区别在于，数组是一种静态的集合，链表则是一个动态的集合。我们用下图来形象地说明两者的区别：

上图分别是数组与单向链表的示意图。数组在使用前需要声明好需要使用的空间大小，声明后空间大小无法变化，数据存储是连续的，插入删除需要移动后面所有元素，但可以使用下标寻址；链表则正好与之相反，使用前无需声明需要使用的空间，使用时可根据实际情况增删数据个数（使用空间也随之变化），数据存储不连续，插入删除效率极高，但不可用下标寻址。

细心的同学可能发现，为什么上图中 Array 和 List 都有箭头指着后面的空间呢？是的，无论是数组还是链表，他们本质上都是指针，上图中所有箭头都是指针的意思。例如当你使用 int array[20] 声明了一个数组时，后面所使用的 array 本质上都是一个指针，你既可以使用 array[1] 来获取第二个数据，也可以使用 *(array + 1) 来达到同样的效果。

那么链表的结构是什么样的呢？

如上图所示，一个链表一般分为两个部分，一是指向列表第一个节点的 List ，一般用于指代列表，类似于数组中数组名的作用；另一个是列表内部真正储存数据的节点 Node。

为什么需要分为两个部分？请读者们回顾一下我们上文所说，这种设计本质上是在模仿数组的设计。比如说我现在告诉小明我定义了两个数组，分别叫做 array1 和 array2 ，如果他需要使用数组1的第3个元素，那么只需要使用 array1[2] 即可，如果没有这样一个标志符，难道我们用 [2] 来选取这个元素吗？那如果我要使用数组2的第3个元素又该怎么办呢？当然这其实只是一个小问题，理论上来说我们也可以用其他手段来解决他，但单独定义一个头部有另外一个更为重要的原因，我们可以在头部 List 储存整个列表的属性，例如列表元素个数，是否有序等等。当我们想要知道一个列表的元素个数时，只需要从头部直接获取相应的信息即可，而不用每次都扫描一遍整个列表再返回结果。当然你说我可以把这个信息写在 Node 里呀？我现在只需要添加一个节点，就可以储存整个列表的主要信息，你却要把他复制到每一个 Node 里去？你以为你是区块链啊？还要分布式存储？难道你还怕我 List 节点会骗你不成？要不少于51%的节点都说我们长度为10你才相信我长度真为10？

上文我们提到的链表是最为常用的链表，称为双向链表，其实意思也很简单，链表的搜索方向有两个，既可以向前搜索（指向上一个节点的 prev 指针），也可以向后搜索（指向下一个节点的 next 指针），首节点因为前面没有其余节点，所以首节点的 prev 指针为 NULL，同理尾结点的 next 指针也为 NULL。与之相似的有单向链表：只有 next 或 prev 指针，只能沿着一个方向搜索。循环链表，首节点的 prev 指针指向尾结点，尾结点的 next 指针指向首节点（而不是像双向链表里为 NULL）。只要你愿意，你可以定义出各种奇奇怪怪的链表，理论上来说，后面我们讲到的其他数据结构其实都是一些被广泛使用的奇怪链表。

下文中链表的完整代码可以在我的github上找到。

链表的 Node 节点如下定义：

// 列表节点
typedef struct ListNode{
    int data;
    struct ListNode* prev;
    struct ListNode* next;
}ListNode;

链表的 List 如下定义：

// 列表
typedef struct List{
    struct ListNode* head;
    int length;
}List;

初始化一个列表：

// 初始化一个列表，不包含任何数据
List* ListInit(){
    List* list = (List*)malloc(sizeof(List));
    list->head = NULL;
    list->length = 0;
    return list;
}

从链表中搜索并返回指定节点：

// 在list列表中搜索data为number_to_search的第一个节点，并返回此节点
ListNode* ListSearch(List* list, int number_to_search){
    ListNode* node = list->head;
    while(node != NULL && node->data != number_to_search){
        node = node->next;
    }
    return node;
}

向链表插入新节点：

// 新建一个data为number_to_add的节点，并将其添加至list列表头部
int ListAdd(List* list, int number_to_add){
    // 新建节点
    ListNode* node_to_add = (ListNode*)malloc(sizeof(ListNode));
    node_to_add->data = number_to_add;
    node_to_add->next = list->head;
    node_to_add->prev = NULL;

    // 将新节点插入至列表头部
    if(list->head != NULL){
        list->head->prev = node_to_add;
    }
    list->head = node_to_add;
    list->length ++;
    return 0;
}

删除链表中的指定节点：

// 从list列表中删除node节点，并free掉node节点
int ListDelete(List* list, ListNode* node){
    if(node->prev == NULL){
        list->head = node->next;
    } else{
        node->prev->next = node->next;
    }

    if(node->next != NULL){
        node->next->prev = node->prev;
    }
    free(node);
    list->length --;

    return  0;
}

大家可以看到在代码中，很多代码都是在判断边界条件，写着实在是不方便，那有没有什么办法不需要进行繁琐的边界判断呢？当然有，不知道同学们有没有回想起我们上文所说的循环链表？没错，我们将链表头部和尾部指向 NULL 的指针全部指向一个 Node 节点，我们不妨将其称为 Nil 节点，此节点与其他 Node 节点采用完全一样的结构，Nil 的 prev 指向尾结点，next 指向首节点，这样就无需判断边界条件了，这种方式的具体实现就留给各位读者了。

栈和队列

栈和队列是一种动态集合，虽然操作简单，但却十分有效。栈采用后进先出（last-in,，first-out，LIFO，这名字真的体现了一种淳朴感，哪像现在各种东西吹得天花乱坠）的策略，即字面意思，最后进入此集合的元素会被首先推出。例如我们平时使用的文本编辑器的撤销功能，第一个撤销的操作是你最后进行的那一个操作，这就是一个典型的栈的应用。队列正好与栈相反，采用先进先出（first-in，first-out，FIFO）带策略，最先进入队列的元素会被首先推出，例如平时生活中的排队，先开始排队的人先排到。

栈和队列的操作也非常类似，都包含插入（栈中称为 PUSH、入栈，队列中称为 ENQUEUE、入队），删除（栈中称为 POP、出栈，队列中称为 DEQUEUE，出队）。

栈

队栈和队列有了一个初步的认识后，我们来详细介绍一下栈。栈既可以用数组实现，也可以使用链表实现，为了讲解简单，我们就使用数组来实现（其实使用链表实现也是一样的道理，几乎没有任何区别）。

上图就是一个栈的示意图，一个栈包含两个指针，分别是栈底指针 Bottom，栈顶指针 Top，每次我们进行 PUSH操作时，将 Top 指针加1，然后将数据复制到现在 Top 指针所指位置，如下图所示：

出栈则是此过程的逆过程，将 Top 指针减一，并返回数据即可。

栈最重要的就是 PUSH 和 POP 操作，那看起来没 Bottom 指针什么事呀？其实不然，Bottom 指针最重要的作用是标记这是栈开始的地方，同时也可以帮助我们判断栈是否为空，并防止出栈时越界等问题。

同时我们也注意到出栈时我们只讲 Top 指针减一了，可数据还在栈里面呀？其实无需担心，一段空间内是否有数据，不是看里面是否真的有数据，而是根据你的解释来判断。计算机的数据本质上都是 0-1 串，所以其实整个计算机从拼装好那一刻，他的空间就一直是“满”的——因为一个 bit 不是高电平就是低电平，也就意味着不是 1 就是 0。当你在计算机里删除文件时，是真的把一份文件的数据抹去了吗？不，只是操作系统在那做了一个标记，告诉其他程序：这些不是有用的数据，如果你们需要空间，可以直接使用这些地方。这正是误删文件后，进行数据恢复的原理——只要这段空间还没有被写入其他数据，那么我只需要再将其标记回来，告诉大家这个地方有一个文件，此时文件就成功恢复了（当然还伴随有一些其他的细节操作，比如修改文件索引等等）。所以同理，出栈时我们只需将 Top 指针减一即可，因为此时我们的解释为，下标大于 Top 指针的都不属于栈内的数据。再说了，你又有什么方法将这段数据抹去呢？难道将其赋值为 0 吗？如果我本身就出栈了一个 0 呢？

下文中栈的完整代码可以在我的github上找到。

栈的定义如下：

// 定义栈
typedef struct Stack{
    int* array;
    int top;
    int length;
}Stack;

栈的初始化：

// 初始化栈
Stack* StackInit(int stack_length){
    Stack* stack = (Stack*)malloc(sizeof(Stack));
    stack->array = (int*)malloc(sizeof(int) * stack_length);
    stack->top = -1;
    stack->length = stack_length;
    return stack;
}

常用的栈辅助函数：

// 判断栈是否已满
int StackIsFull(Stack* stack){
    return (stack->top >= (stack->length - 1));
}

// 判断栈是否为空
int StackIsEmpty(Stack* stack){
    return (stack->top < 0);
}

压栈操作：

// 压栈
int StackPush(Stack* stack, int number_to_push){
    if(StackIsFull(stack)){
        return -1;
    } else{
        stack->top ++;
        stack->array[stack->top] = number_to_push;
        return 0;
    }
}

出栈操作：

// 出栈
int StackPop(Stack* stack){
    stack->top --;
    return stack->array[stack->top + 1];
}

对于上述代码，我们需要注意，由于C语言本身的限制，所以在出栈以前需要使用者自行调用 StackIsEmpty() 函数，在保证栈不为空的情况下调用 StackPop() 出栈，否则会出现越界造成不可预测的错误。但如果使用一些有抛出异常功能的高级语言，如 Java，则可以在栈空但用户仍然进行 Pop 操作时抛出异常，以此强行避免不熟练的使用者的错误操作。

题外话：其实我上面的代码写的不是很符合C语言的规范，如果没有特殊情况，C语言函数的返回值都是用于判断函数执行效果的。例如 return 0 表示操作正常，return -1 表示溢出，return -2 表示空间不足申请失败等，数据的传递需要全部使用参数实现（例如传入的数据使用普通变量，计算完成返回的数据使用指针等），例如C语言中最简单的输入输出函数 scanf() printf() 等。因为是示例代码，所以这些细节地方我没有太注意。

队列

同理，队列也既可以使用链表实现，也可以使用数组实现。我们也使用数组举例。队列与栈不同的是，队列插入数据时，插入至 tail 指针所指位置，然后将 tail 指针加一，推出数据时将 head 指针加一，然后返回原本 head 指针所指位置的数据。

队列与链表不同，设计栈时，我们必定是从下标为0的位置开始使用，所以数组有多大空间，栈在任何时候都能使用这么大的空间。但队列由于是先进先出，如果进行了多次操作以后，例如原本定义的数组长度为10，我们进行了5次出队以后，head 指针讲指向下标为5的位置，难道前面的空间我们就不能再使用了吗？当然不是，此时我们可以采用一种被称为循环数组的设计：当超出了数组下标上限时，将从下标0重新开始增加。听着非常高大上的样子，其实实现起来非常简单：正常情况下，下标增加时只需简单的进行 + 操作，而在循环数组中，每次 + 操作以后再将新的值对数组长度取余，这样当下标超过数组长度时，将会因为被取余而等同于回到数组下标 0 处重新增加。如果没有理解这一段话，大家可以阅读下文入队函数中的操作。

队列的完整代码在我的github上可以看到。

队列定义：

// 队列定义
typedef struct Queue{
    int* array;
    int length;
    int head;
    int tail;
}Queue;

队列初始化：

// 初始化
Queue* QueueInit(int queue_length){
    Queue* queue = (Queue*)malloc(sizeof(Queue));
    queue->array = (int*)malloc(sizeof(int) * (queue_length + 1));
    queue->head = 0;
    queue->tail = 0;
    queue->length = queue_length + 1;
    return queue;
}

请注意，在代码实现中，我们申请的数组长度比队列长度大 1，请读者们回顾我们上文中队列实现的示意图，队列 head 指针所指位置是队首元素，队列 tail 指针所指位置是队尾元素下标 + 1。如果我们申请的数组长度与队列长度相同，请读者们设想一下，队列为空和队列满时，head 指针和 tail 指针指向的下标是否都是相同的？这样一来我们是无法判断出 head == tail 时，究竟是队列为空，还是队列已满。当然我们也可以利用其它标记，来使得我们可以在不额外增加长度的情况下解决这个问题，但这样势必会使整个问题复杂化，判断流程过多，不仅容易出错，运行效率也降低了。

常用队列辅助函数：

// 判断队列是否已满
int QueueIsFull(Queue* queue){
    return (((queue->tail + 1) % queue->length) == queue->head);
}

// 判断队列是否为空
int QueueIsEmpty(Queue* queue){
    return (queue->head == queue->tail);
}

入队：

// 入队
int QueueEnqueue(Queue* queue, int number_to_enqueue){
    if(QueueIsFull(queue)){
        return -1;
    }

    queue->array[queue->tail] = number_to_enqueue;
    queue->tail  = (queue->tail + 1) % queue->length;
    return 0;
}

出队：

// 出队
int QueueDequeue(Queue* queue){
    int return_value = queue->array[queue->head];
    queue->head = (queue->head + 1) % queue->length;
    return return_value;
}

有根树

我们上文介绍的链表几乎可以实现所有的数据结构，包括树。

由于树这个家族过于庞大，不可能在一篇文章中讲解完成，所以我们将仅仅简单地介绍一下树的概念，方便我们后续的学习，并不实际在代码层面实现。我们将在学习更加深入后，在合适的时间对树这个家族进行详细的介绍并在代码层面实现。

一个树节点通常包含三个部分，数据，父节点指针，子节点指针。我们首先以最简单的二叉树为例进行介绍。下文的介绍中，为了突出主要问题，所有的图示中都将省略树节点的数据部分。

二叉树

如上图，这是一个二叉树的示意图，最上面的那个节点称为树根，这也是我们为什么将其称为有根树。由于版面有限，我们在图中省略了每个节点的数据部分。一个二叉树的每个节点包含一个父节点指针和两个子节点指针（分别称为左孩子和右孩子），如果节点没有父节点（这种情况只会出现在树根节点），那么其父节点指针为 NULL，如果没有左孩子，则左孩子指针为 NULL，当没有右孩子时同理。这样的一种数据结构被我们形象地称为树。不过和自然界中的树不一样，我们的树一般而言是倒着的，最上面的是跟节点，最下面的是叶子节点。

分支无限制的有根树

二叉树是我们平时使用频率最高，也是最简单的树，那么相对应的就会有多叉树。那么我们应该如何表示多叉树呢？难道向二叉树一样，有几个孩子节点就有几个孩子指针？当然这也是一种实现方式，但不太合理——二叉树的使用频率非常高，为其单独设计一种结构很合理，但除了二叉树以外的其他树并没有什么是非常常用的，不同的程序之间的树结构几乎没有通用性，而且，如果我说我需要一个 100 万叉树，难道你需要在代码里把孩子节点的代码复制 100 万遍吗？

我们通常使用如下结构实现多叉树：

在数据结构上与二叉树完全一样，但在解释上则不同。位于同一排的节点互相称为兄弟节点，上方的是父节点，下方的是子节点。原先的左孩子变成了子节点里的“兄”，原先的右孩子变成与自己“同辈”的“弟”，“长兄”原先的父节点依然是父节点，但其他兄弟原先的父节点则变成了“兄”节点。仅仅通过不同的解释，在完全不改变数据结构的情况下，我们就实现多叉树，而且是任意子节点数量的多叉树。

请读者们仔细观察，我们上文中所举例的二叉树和多叉树实际上有没有什么区别呢？

结语

这一篇文章介绍了四种最基本的数据结构，请读者们一定要深入理解链表的概念，几乎所有的数据结构都可以从链表中找到影子。下一篇文章我们将会介绍堆排序（绝对不鸽！！！），堆排序将会使用树的概念实现，不过是一种特殊的树——完全二叉树。

原文链接：albertcode.info

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