【ctf-4】同余方程+RSA算法

前言：本周继续进行了密码学的理论学习。对于密码学来说，对数学的理解是非常深刻的，理论是非常重要的环节，对于密码学的题目很多都是有工具可以进行解密操作的，但是数学基础依旧是少不了的，一方面可以提高自己的思维另一方面可以提高自己的算法能力。
这周详细看了同余方程，理解了同余方程的解法，孙子定理，二次剩余、Legendre与Jacobi符号。
结合了RSA算法，这才知道我前面学的理论部分有多么重要，例如计算模幂运算、模的性质、素数分解等等，在ctf题目中也有关于RSA的题目，但是一般都可以使用工具进行解密这里也不再赘述了。

理论部分就放图了使用Latex打公式实在是累人。

数论基础

一次高次同余方程

一般同余方程、二次剩余

Legendre符号

RSA算法

简介与实例

RSA是著名和可靠的非对称密钥加密算法。已经成为公钥密码的国际标准，其安全性依赖于大整数因子分解的困难性，

其加密与解密的过程如下：
注意N,E为公开
1.选择两个大素数P,Q，（两个数都接近于1024bit是安全的）
2.计算N=P*Q；
3.选择一个公钥（即加密公钥）E，使其不是（P-1)与（Q-1)的因子（欧拉函数，不大于n且与n互质的整数个数f(n)=(P-1)(Q-1)）,意思就是gcd(E,f(n))=1。
4.选择私钥（即解密密钥）D，满足：
d * E mod(P-1) * (Q-1)=1 (欧几里得扩展算法计算私钥d）
5.加密时从明文PT计算密文CT如下：
CT=PT^E mod N
6.将密文CT发送给接收方
7.解密时，从CT计算PT如下：
PT=CT ^ D mod N

选取p,q应该满足下列要求：
1.p,q差值不应太小，gcd(p-1,q-1)尽可能小，p,q为强素数

实例

1.选择P=7，Q=17；
2.计算N=7*17=119
3.求（7-1）（17-1）=96，因此E的因子不能有2，3，假设选择5
4.选择私钥D，分别将E,P,Q代入可以得到d=77
5.假设加密明文10，则
CT=PT^E MOD N=10^5 mod 119=40
6.将密文CT 40发送给接收方
7.解密时，从CT计算PT如下：
PT=CT^D MOD N=40^77 mod 119=10

这里出现了40^77 mod 119的计算，所以有必要对模幂运算做一个解释与说明，见下图，并且写出关于模幂过程：

模幂运算

typedef _int64 BigInt
BigInt modexp(BigInt b,BigInt e,BigInt m)
   {
       b%=m;
        BigInt result=1;
        while(e>0)
        {
           if( e&1 == 1 )
               result = (result*b)%m;  
           // multiply in this bit's contribution while using modulus to keep result small
           // move to the next bit of the exponent, square (and mod) the base accordingly
           e >>= 1;  
          b = (b*b)%m;
       }
       return result;
  }

RSA的安全性

可以看出RSA比较简单，关键是选择正确的密钥。在实际过程中，P，Q都是很大的数字，因此从N求出P,Q不容易是相当复杂的，由于很难得出P,Q，也就无法求出D，（D取决于P,Q,E）数学分析证明，N为100位数时，要70多年才能计算出P,Q。
到目前为止还没有关于成功攻击RSA的报道，但仍有攻击的可能。
1.明文攻击
利用较短消息的攻击；周期性攻击；公开消息的攻击
2.因数分解攻击
攻击者把N分解为P,Q，可以得到私钥（非常难）
出现比较早的方法就是试除法，完全尝试小于n的所有素数，尝试次数为2sqrt(n)/log(sqrt(n))
二次筛选法：费马因子分解：找出x^2, y^2,使得 x^2 - y^2=nk，令k=1,直接计算n+1 ,n+2 ^2 ,n+3^2。如找n=295927，可以发现295927+9=295926=544544,故分解以后为547541.

3.对加密密钥的攻击，推荐使用E=2^16+1=65537
4.对解密密钥的攻击

RSA算法代码（JAVA）

// Java Program to Implement the RSA Algorithm
import java.math.*;
import java.util.*;

class RSA {
	public static void main(String args[])
	{
		int p, q, n, z, d = 0, e, i;

		// The number to be encrypted and decrypted
		int msg = 12;
		double c;
		BigInteger msgback;

		// 1st prime number p
		p = 3;

		// 2nd prime number q
		q = 11;
		n = p * q;
		z = (p - 1) * (q - 1);
		System.out.println("the value of z = " + z);

		for (e = 2; e < z; e++) {

			// e is for public key exponent
			if (gcd(e, z) == 1) {
				break;
			}
		}
		System.out.println("the value of e = " + e);
		for (i = 0; i <= 9; i++) {
			int x = 1 + (i * z);

			// d is for private key exponent
			if (x % e == 0) {
				d = x / e;
				break;
			}
		}
		System.out.println("the value of d = " + d);
		c = (Math.pow(msg, e)) % n;
		System.out.println("Encrypted message is : " + c);

		// converting int value of n to BigInteger
		BigInteger N = BigInteger.valueOf(n);

		// converting float value of c to BigInteger
		BigInteger C = BigDecimal.valueOf(c).toBigInteger();
		msgback = (C.pow(d)).mod(N);
		System.out.println("Decrypted message is : "
						+ msgback);
	}

	static int gcd(int e, int z)
	{
		if (e == 0)
			return z;
		else
			return gcd(z % e, e);
	}
}