[题解] [NOI Online 2021 入门组 T3] 重力球
题目大意
在一个 n × n n\times n n×n 的矩形中，题目会给出 m m m 个障碍物。有两个小球，你可以选定四个方向（上下左右）的其中一个，小球会朝着这四个方向一直滚动，直到遇到障碍物或是矩形的边缘停止。有 q q q 条形如 a a a b b b c c c d d d 的询问，代表两个小球的坐标 ( a , b ) (a,b) (a,b) 和 ( c , d ) (c,d) (c,d) ，求多少步，小球会重叠。
题目链接
思路
55pts
首先考虑暴力，先预处理出所有点滚动会滚动到哪里，写四个 d f s dfs dfs 完事。
int L(int i, int j) {//向左滚
if(stn[i][j - 1]) {
l[i][j] = L(i, j - 1);
return l[i][j];
}
else
l[i][j] = j;
return j;
}
int U(int i, int j) {//向上滚
if(stn[i - 1][j]) {
u[i][j] = U(i - 1, j);
return u[i][j];
}
else
u[i][j] = i;
return i;
}
int R(int i, int j) {//向右滚
if(stn[i][j + 1]) {
r[i][j] = R(i, j + 1);
return r[i][j];
}
else
r[i][j] = j;
return j;
}
int D(int i, int j) {//向下滚
if(stn[i + 1][j]) {
w[i][j] = D(i + 1, j);
return w[i][j];
}
else
w[i][j] = i;
return i;
}
主函数中：
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(!stn[i][j])//小球不会到障碍物上
continue;
if(!r[i][j])
R(i, j);
if(!w[i][j])
D(i, j);
}
}
for(int i = n; i >= 1; i--) {
for(int j = n; j >= 1; j--) {
if(!stn[i][j])//小球不会到障碍物上
continue;
if(!l[i][j])
L(i, j);
if(!u[i][j])
U(i, j);
}
}
然后无脑 B F S BFS BFS ， T L E TLE TLE 。（ 55 p t s 55pts 55pts 亲测）
主体部分
void BFS() {
q.push(Node(a, b, c, d, 0));
if(a == c && b == d) {
printf("0\n");
return;
}
while(!q.empty()) {
Node now = q.front(); q.pop();
Node next = now;
next.step++;
next.Y_1 = l[next.X_1][next.Y_1];
next.Y_2 = l[next.X_2][next.Y_2];
if(next.X_1 == next.X_2 && next.Y_1 == next.Y_2) {
printf("%d\n", next.step);
return;
}
int tmp = Get_Hash(next.X_1, next.X_2, next.Y_1, next.Y_2);
if(!f[tmp]) {
f[tmp] = 1;
q.push(next);
}
next = now;
next.step++;
next.Y_1 = r[next.X_1][next.Y_1];
next.Y_2 = r[next.X_2][next.Y_2];
if(next.X_1 == next.X_2 && next.Y_1 == next.Y_2) {
printf("%d\n", next.step);
return;
}
tmp = Get_Hash(next.X_1, next.X_2, next.Y_1, next.Y_2);
if(!f[tmp]) {
f[tmp] = 1;
q.push(next);
}
next = now;
next.step++;
next.X_1 = u[next.X_1][next.Y_1];
next.X_2 = u[next.X_2][next.Y_2];
if(next.X_1 == next.X_2 && next.Y_1 == next.Y_2) {
printf("%d\n", next.step);
return;
}
tmp = Get_Hash(next.X_1, next.X_2, next.Y_1, next.Y_2);
if(!f[tmp]) {
f[tmp] = 1;
q.push(next);
}
next = now;
next.step++;
next.X_1 = w[next.X_1][next.Y_1];
next.X_2 = w[next.X_2][next.Y_2];
if(next.X_1 == next.X_2 && next.Y_1 == next.Y_2) {
printf("%d\n", next.step);
return;
}
tmp = Get_Hash(next.X_1, next.X_2, next.Y_1, next.Y_2);
if(!f[tmp]) {
f[tmp] = 1;
q.push(next);
}
}
printf("-1\n");
}
100pts
考虑逆推求出所有状态的最小满足条件步数。
不难发现，经过一次的滚动后，小球会落在障碍物的旁边或是矩阵的边缘。一共有 ( 4 m + 4 n ) (4m+4n) (4m+4n) 中状态，那么两个求就一共有 ( 4 m + 4 n ) 2 (4m+4n)^2 (4m+4n)2 种状态，可以往四边滚，那么可以将会与其他的四种状态有联系。
在考虑将这些点进行 h a s h hash hash 相连。那么就成为了一个多源最短路问题。将一个超级源点 s s s 连向每个两小球重叠的哈希值连边。同时当前状态与下一个状态建立反边，跑最短路即可。
由于边长都为 1 1 1 ，则可以使用 B F S BFS BFS 来求最短路，时间复杂度为 O ( 4 ( 4 m + 4 n ) 2 ) O(4(4m+4n)^2) O(4(4m+4n)2) 。
最后是查询的问题，也比较简单， 分四个方向先滚动一次，那么步数就是 d i s [ t m p ] + 1 dis[tmp]+1 dis[tmp]+1 （ d i s dis dis 记录最短路， t m p tmp tmp 为当前状态的哈希值）。但值得注意的是，若滚动前和滚动后两个小球的位置没有改变，则不需要加一。
细节代码上有注释。
Code
#include