EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件

abstract

• 平面直线方程和直线位置关系判定条件

一次函数与直线图形

• 一般地,$l$是一次函数$y=kx+b$,$(k\ne 0)$(1)的图形,所表达的意义是:
  • 若点$P$在$l$上,则它的坐标$(x,y)$,满足$y=kx+b$
  • 反之,若点$P$的坐标$(x,y)$满足(1),则$P$点一定在$l$上
• $l$上任意两点$(x_1,k{x}_1+b)$,$(x_2,k{x}_2+b)$都在同一条直线上,因此$l$是一条直线,即(1)的图形是一条直线
• 特别的,当$k=0$时,无论$x$取何值,$y$始终等于$b$,即$y=0x+b=b$(1-1),
  • 此时的图形仍然是一条直线,并且是平行于$x$轴的直线;
• 总之,一次函数的图形是直线,但直线的图形不一定对应于某个一次函数
• 式(1),(1-1)都可以看作一个二元一次方程,因此方程$y=kx+b$的解和不垂直于$x$轴的直线$l$上的点存在一一对应的关系,因此直线$l$是方程$y=kx+b$的图形

直线方程与方程的直线

• 一般地,若以一个(二元一次)方程的解$(x,y)$为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线
• 由于方程$y=kx+b$的图象是一条直线,因此常称$y=kx+b$为直线$y=kx+b$
• 方程$y=b$和$x=x_0$(1-2)分别为:平行于$x$轴且过$(0,b)$的直线;垂直于$x$轴且过$(x_0,0)$的直线

直线的斜率

• 直线$l$(式(1))被其上的任意不同两点所唯一确定,设直线上两点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$坐标可以算出直线的斜率$k$

  • 通常我们把直线$y=kx+b$中的系数$k$称为直线的斜率

• 由于$A,B$在$l$上,有$y_1=k{x}_1+b$;$y_2=k{x}_2+b$;两式相减:$y_2-y_1$=$k(x_2-x_1)$,所以$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,$(x_1\ne x_2)$(1-3)

• 若用增量$\Delta x=x_2-x_1$,$\Delta y=y_2-y_1$,则式(1-3)可以表示为$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$,$\Delta x\ne 0$

• 显然,垂直于$x$轴的直线(1-2)斜率不存在,其也不是一次函数

• (1-1)不是一次函数,但仍然是一条直线,并且仍然存在斜率,只不过斜率为0

直线分类

• 此后,将直线方程分为两类,存在斜率和不存在斜率的(不再以是否为一次函数为分类标准)
• 存在斜率的直线可以表示为$y=kx+b$,而不存在斜率的直线表示为$x=x_0$
• 前者是讨论的重点

倾斜角

• 方程$y=kx+b$的图形式过点$(0,b)$且斜率为$k$的直线
• 斜率$k$决定了这条直线相对于$x$轴的倾斜程度
• 一般地,$x$轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,通常记为$\alpha$
  • 规定与$x$轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角

倾斜角和斜率的关系

• $k=\tan \alpha$,$\alpha \in [0,\pi )$,$k\in (-\infty ,+\infty )$
• $k=0$时,直线平行(重合)于$x$轴
• $k>0$时,直线的倾斜角为锐角,$\alpha$随$k$的增大而增大
• $k<0$时,直线的倾斜角为钝角,$\alpha$随$k$的增大而增大
• 当$k$不存在时,倾斜角为直角

直线方程的形式

• 下面假设直线的斜率存在
• 如果不存在,则只能表示为$x=x_0$的形式,无需讨论

点斜式

• 已知直线$l$过点$P_0(x_0,y_0)$,且斜率为$k$,直线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$(1),称为直线的点斜式方程
  • 设点$P(x,y)$为$l$上不同于$P_0$的任一点,则直线$l$的斜率$k$由$P,P_0$两点确定为$k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$,整理得(1)式
  • 特别的,当$k=0$时,方程变为$y-y_0=0$,即$y=y_0$,(1-1)

斜截式

• 当$P_0(x_0,y_0)$为$y$轴上的点$(0,b)$时,式(1)写成$y-b=k(x-0)$,即$y=kx+b$(2)
• 斜截式可以理解为点斜式的一种特殊情况,其中$b$为直线的截距
• 当$k\ne 0$时,(2)是一次函数解析式,$k=0$时,则不是一次函数

两点式

• 已知两点$A(x_1,y_2)$,$B(x_2,y_2)$,且$x_1\ne x_2$,求直线$AB$的方程
• 由两点可以确定$AB$直线的斜率:$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,由点斜式,$(y-y_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$,变形可得$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$=$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$,$x_1\ne x_2$(3)称为两点式方程
• 使用增量表示,$\frac{y-y_1}{\Delta y}$=$\frac{x-x_1}{\Delta x}$,$\Delta x\ne 0$

一般式方程

• 基于点斜式推导出的若干直线形式都依赖于前提:直线斜率存在(不垂直于$x$轴)
• 若以二元一次方程的角度看,斜率不存在的直线表示为$x=x_0$,即$y$的系数为0,而$x$的系数为1
• 对于每一条直线,都可以求出其对应的二元一次方程,从而任何直线都是关于$x,y$的二元一次方程

任何二元一次表示一条直线

• 设关于$x,y$的二元一次方程的一般形式为$Ax+By+C=0$,(1)$(A,B)\ne (0,0)$,即$A,B$不同时为0
  • $B\ne 0$时,式(1)化为$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$,即斜截式方程
    • 其表示的是斜率为$k=-\frac{A}{B}$,且$y$轴上的截距为$-\frac{C}{B}$的直线
  • 当$B=0$,此时$A\ne 0$,式(1)化为$x=-\frac{C}{A}$
    • 其表示的是于$y$轴平行或重合的直线
• 综上,关于$x,y$的二元一次方程表示一条直线

一般式

• 综上讨论,方程(1)称为直线的一般式方程

两直线的位置关系

• 设两条直线分别为$l_1$:$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$;$l_2$:$A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

• 使用高斯消元法,若先消去$x$,则

  • $A_1{A}_{2}x+B_1{A}_{2}y+A_2{C}_1=0$
  • $A_1{A}_{2}x+A_1{B}_{2}y+A_1{C}_2=0$
  • 两式相减,$(B_1{A}_2-A_1{B}_2)y+A_2{C}_1-A_1{C}_2=0$(2-1)

• 类似的,若先消去$y$

  • $A_1{B}_{2}x+B_1{B}_{2}y+B_2{C}_1=0$
  • $A_2{B}_{1}x+B_1{B}_{2}y+B_1{C}_2=0$
  • 可得:$(A_1{B}_2-A_2{B}_1)x+B_2{C}_1-B_1{C}_2=0$,(2-2)

• 由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$,(3)

  • 有:$x=\frac{B_1{C}_2-C_1{B}_2}{A_1{B}_2-A_2{B}_1}$

  • 类似的可得$y=\frac{A_2{C}_1-A_1{C}_2}{A_1{B}_2-A_2{B}_1}$

  • 因此$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标$(x,y)$

• 当$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$(3-0)时,且$A_2{C}_1-A_1{C}_2\ne 0$(3-1)或$B_1{C}_2-C_1{B}_2\ne 0$(3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

  • 这一点可以从式(2-2)看出,当$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$时,方程(2)写成$B_2{C}_1-B_1{C}_2=0$,若$B_2{C}_1-B_1{C}_2\ne 0$,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解
  • 从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

• 方程组(1)可以写作:

  • $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y=-C_1 \\ {A}_{2}x+B_{2}y=-C_2 \end{gathered}$$

  • 该线性方程组的系数矩阵

    • $$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right)$$

  • 由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件:$|A|\ne 0$​时方程组(1)有唯一解;即 ∣ A ∣ = ∣ A 1 B 1 A 2 B 2 ∣ |A|=\begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix} ∣A∣= ​A1​A2​​B1​B2​​ ​=$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$

  • 或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

    • $$\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -C_1\\ A_2& B_2& -C_2\end{array}\right)\stackrel{r_2-\frac{A_2}{A_1}r1}{}\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -C_1\\ 0& B_2-\frac{A_2}{A_1}{B}_1& -C_2+\frac{A_2}{A_1}{C}_1\end{array}\right)$$

      • 这里假设$A_1\ne 0$

    • 当$B_2-\frac{A_2}{A_1}{B}_1\ne 0$,两边乘以$A_1$,得式(3),这就是有解的条件

    • 无解的条件是$B_2-\frac{A_2}{A_1}{B}_1=0$,且$-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C}_1\ne 0$,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

• 若$A_2,B_2,C_2\ne 0$,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式:$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$

重合判定

• 对于$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数$\lambda$,则$A_1=\lambda A_2$,$B_1=\lambda B_2$,$C_1=\lambda C_2$,($\lambda \ne 0$)(4)

• 在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例,$l_1$方程可以写成$\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0$(5)

  • 显然,$l_1,l_2$方程的解集相同,此时两直线重合

总结

• $l_1,l_2$的位置关系有3种,相交,平行,重合
  • 此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)
  • 平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)
  • 重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同)
• (单点)相交,则$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$或$\frac{A_1}{A_2}\ne \frac{B_1}{B_2}$
• 平行:
  1. $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$且$A_2{C}_1-A_1{C}_2\ne 0$或$B_1{C}_2-C_1{B}_2\ne 0$中的一个成立
  2. 或$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$
• 重合:$A_1=\lambda A_2$,$B_1=\lambda B_2$,$C_1=\lambda C_2$,$(\lambda \ne 0)$或$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

用表格表示:

	条件$A_i,B_i$不全为0($i=1,2$)	比值式条件
相交于一点	$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$	$\frac{A_1}{A_2}\ne \frac{B_1}{B_2}$
平行不重合	$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$且$B_1{C}_2-C_1{B}_2\ne 0$	$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$
重合	$A_1=\lambda A_2$,$B_1=\lambda B_2$,$C_1=\lambda C_2$,$(\lambda \ne 0)$	$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

判断位置关系的算法

• 由两直线的一般方程为$A_i,B_i,C_i$,$(i=1,2)$赋值($A_i,B_i$不同时为0)
• 计算$D_1=A_1{B}_2-A_2{B}_1$,$D_2=B_1{C}_2-C_1{B}_2$或$A_1{C}_2-A_2{C}_1$
• 若$D_1\ne 0$,则$l_1,l_2$相交
• 若$D_1=0$,$D_2\ne 0$,则$l_1,l_2$平行
• 若$D_1=0$,$D_2=0$,则$l_1,l_2$重合

直线平行对应的方程关系

• 若$A_1=A_2=A$,$B_1=B_2=B$,$C_1\ne C_2$,则两直线平行

• 证明:$D_1=A_1{B}_2-A_2{B}_1$=$AB-AB=0$;$D_2=B_1{C}_2-B_2{C}_1$=$B(C_2-C_1)$或$A_1{C}_2-A_2{C}_1$=$A(C_2-C_1)$

  • 当$B\ne 0$时,$D_2\ne 0$,两直线平行
  • 当$B=0$时,由直线的定义,$A,B$不同时为0,从而$B=0$时,$A\ne 0$,
    • 方法1:$B(C_2-C_1)$=0,但$A(C_2-C_1)\ne 0$,所以$D_2\ne 0$,两直线平行
    • 方法2:从直线本身特点判断
      • 两直线分别为$Ax-C_1=0$,$Ax-C_2=0$,即分别为$x=-\frac{C_1}{A}$,$x=-\frac{C_2}{A}$,这两条直线都与$x$轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合
      • 由于$C_1\ne C_2$,从而两直线平行而不重合

• 一般地,我们可以把与直线$Ax+By+C=0$平行(不重合)的直线设为$Ax+By+D=0$,$(D\ne C)$

两条直线垂直

• 设两条直线分别为$l_1$:$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$;$l_2$:$A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$

• 在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况

• 由直线平行对应的方程关系可知,$l_1$和$l_1^{\prime }$:$A_{1}x+B_{1}y+0=0$平行,$l_2$和$l_2^{\prime }$:$A_{2}x+B_{2}y+0=0$平行,从而研究$l_1,l_2$的垂直条件时,可以转换为研究$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$的垂直条件

• 显然,$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$是通过坐标原点$(0,0)$的直线,在直线$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$上分别取原点外的点,分别设为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,并且$x_1{x}_2\ne 0$

• 设$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即$B_1,B_2\ne 0$,直线可以分别表示为$y_1=-\frac{A_1}{B_1}{x}_1$(0-1),$y_2=-\frac{A_2}{B_2}{x}_2$(0-2),即"$y=kx$"的形式

  • 由两点间距离公式:$|AB{|}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$
  • 勾股定理$|OA{|}^2+|OB{|}^2=|AB{|}^2$,$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$=$(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$
  • 化简后可得$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$(1),代入(0-1),(0-2),得$x_1{x}_2(1+\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2})=0$(2)
  • 因为$x_1{x}_2\ne 0$,所以$1+\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}=0$(2-1)
  • 对(2-1)两边同乘$B_1{B}_2$,得$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$(2-2)
  • 逆向推导可知,$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$相互垂直,也就有$l_1,l_2$相互垂直

• 若$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

  • 当$l_1\perp l_2$时,可知另一条也与坐标轴重合或平行

  • 不妨设$l_1^{\prime }:x=0$,$l_2^{\prime }:y=0$,此时$A_1=1,B_1=0$,$A_2=0,B_2=1$

  • 这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出$l_1\perp l_2$

• 综上,平面内任意两条直线$l_1,l_2$垂直的条件是$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

• 设$l_1,l_2$的斜率存在且分别为$k_1,k_2$,则$k_1=-\frac{A_1}{B_1}$,$k_2=-\frac{A_2}{B_2}$,则$k_1{k}_2=\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}$,
• 由式(2-2),$A_1{A}_2=-B_1{B}_2$,从而$k_1{k}_2=-1$(3)
• 这就是说,两条斜率存在的直线$l_1,l_2$垂直的条件是$k_1{k}_2=-1$

直线垂直判断算法

• 由两直线的一般方程为$A_i,B_i$,$(i=1,2)$赋值($A_i,B_i$不同时为0)

• 计算$M=A_1{A}_2+B_1{B}_2$

• 若$M=0$,则$l_1\perp l_2$,否则不垂直

• 例:

  • $2x-4y-7=0$和$2x+y-5=0$;M=$2\times 2+(-4)\times 1=0$,可知两直线垂直

直线垂直对应的方程关系

• $Ax+By+C_1=0$,与直线$Bx-Ay+C_2=0$垂直
• 证明:
  • 因为$M=AB+B(-A)$=0,因此两直线垂直
• 一般的,直线$Ax+By+C=0$垂直的直线可以设为$Bx-Ay+D=0$