全排列算法

全排列的概念

排列

从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m个元素的一个排列。不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m个元素的所有排列的个数，称为排列数（几种排法）。

全排列

从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为 n！

时间复杂度

n个数的全排列有n!种，每一个排列都有n个数据，所以输出的时间复杂度为O(n*n!)，呈指数级，无法处理大型数据。

一、逐步生成大法——迭代（递推）法

三层for循环

第一层：从第二个字符开始遍历

第二层：访问上一趟集合数组中的每一个字符串，然后给每个字符串前面、后面插入字符

第三层：往字符串中间插入字符

需要额外集合

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		String s = "abc";
		ArrayList res = getPermutation(s);
		System.out.println(res);
	}
	public static ArrayList getPermutation(String s){
		ArrayList res = new ArrayList<>();//创建集合，用来迭代
		res.add(s.charAt(0)+"");//初始化集合，添加第一个元素，包含第一个字符
		for(int i=1;i new_res = new ArrayList<>();//创建临时集合，用来存储新生成的字符串
			for(String str:res){//遍历上一趟迭代结果集合中的每一个字符串
				String newStr = c + str;//插入前面
				new_res.add(newStr);
				newStr = str + c;//插入后面
				new_res.add(newStr);
				for(int j=1;j

二、递归

跟上面的递推有一点像，需要额外集合

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		String s = "abc";
		int n = s.length();
		ArrayList res = getPermutation(s, n);
		System.out.println(res);
	}

	public static ArrayList getPermutation(String s, int n) {
		ArrayList res = new ArrayList<>();//创建集合，用来存储第一个元素，用于递归终止
		if (n == 1) {//递归终止条件
			res.add(s.charAt(0) + "");//初始化，把a添加进去
			return res;//返回初始集合
		} else {
			ArrayList res1 = getPermutation(s, n - 1);//创建集合，用于存储上一趟迭代的结果，为了不重复本地变量,命名为res1，代替res
			char c = s.charAt(n - 1);
			ArrayList new_res = new ArrayList<>();//创建临时集合，用于存储新生成的字符串
			for (String str : res1) {
				String newStr = c + str;//加前
				new_res.add(newStr);
				newStr = str + c;//加后
				new_res.add(newStr);
				for (int j = 1; j < str.length(); j++) {//加中间
					newStr = str.substring(0, j) + c + str.substring(j);
					new_res.add(newStr);
				}
			}
			res1 = new_res;//更新res1，把迭代结果赋值给res1
			return res1;//返回迭代结果
		}
	}
}

三、回溯法（或交换法）不在乎顺序的情况下,只求全排列

特点：代码简洁、处理重复（字符）自然、非字典序（，如果需要字典序则在最后对字符串集合进行一次排序 Collections.sort( ) ）、不需要额外集合（因为是对同一个数组空间操作）

三个思维难点：

1. 在for循环内进行多路（多分支）递归，递归先执行完毕
2. 先纵后横
3. 需要回溯，恢复至最初状态，abc，因为共享存储空间，每次都是对同一个数组进行修改，每次都要从根节点abc开始向下层逐层递归

画图理解：

程序大致流程：比如第一支分路，先确定 a 从 a 开始，往下递归，再依次确定 b 和 c ，到达边界条件，把当前数组情况 abc，存入集合。再回溯，恢复交换前的状态（abc），因为 k=1 时，for循环还未执行完，进行第二轮，交换 b、c位置，确定了 c ，往下递归，k=2 时，确定了 b ，到达边界条件，把当前数组情况 acb 存入集合，再次逐层回溯，直到恢复初始 abc ，再进行第二路分支......

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		String s = "abc";
		ArrayList res = new Main().getPermutation(s);//赋值给res
		System.out.println(res);
	}

	ArrayList res = new ArrayList<>();// 创建集合

	public ArrayList getPermutation(String q) {
		char[] c = q.toCharArray();
		Arrays.sort(c);
		getPermutationCore(c, 0);// 调用核心递归方法求解
       //Collections.sort(res);//对集合进行排序，字典序
		return res;// 集合
	}

	private void getPermutationCore(char[] c, int k) {// 核心递归方法
		if (k == c.length) {// 完成一种排列情况，存入集合
			res.add(new String(c));
		}
		for (int i = k; i < c.length; i++) {
			swap(c, k, i);// 交换
			getPermutationCore(c, k + 1);// 递归至下一层
			swap(c, k, i);//在回溯到上一层之前，给换回来，到最顶层时恢复成abc7  
		}
	}

	static void swap(char[] c, int i, int j) {// 交换字符元素
		char temp = c[i];
		c[i] = c[j];
		c[j] = temp;
	}
}

不排序，输出结果为：

[abc, acb, bac, bca, cba, cab]

排序，按照字典序，输出结果为：

[abc, acb, bac, bca, cab, cba]

四、前缀法 求第k个排列

特点：复杂（代码量多）、处理重复（字符）较差（需要进行判断）、字典序（处理较好，每次加的是字符集中未加入字符字典序最小的那个字符）

对于求第k个排列来说，可以使用交换法求出所有的排列，然后对所有排列进行排序，从而解出第k个排列，但是这样的做法不节省时间和空间，没效率。实际上可以按序求出排列，直到求出第k个排列，然后返回就行了。

大致流程：从头开始扫描字符集abc，（把字符加入前缀中之前先判断是否已经加入过）把a加入前缀，直到完成一中排列abc，直到退回上上层ab，此时循环未执行完，进入下一轮循环，把c加入进来，变成ac......

需要额外处理重复的字符

 

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		String s = "123";
		getPermutation("", s.toCharArray());
	}

	final static int k = 3;// 第k个排列
	static int count = 0;// 记录排列完成次数

	private static void getPermutation(String prefix, char[] arr) {
		if (prefix.length() == arr.length) {// 边界条件：前缀的长度==字符集的长度，一个排列就完成了
			count++;
			if (count == k) {// 程序结束条件
				System.out.println(prefix);// 输出目标排列
				System.exit(0);// 正常退出，结束当前正在运行的java虚拟机
			}
		}
		// 每次都从头扫描字符集，只要该字符可用(可添加)，我们就附加到前缀后面，前缀变长了
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			char ch = arr[i];
			// 处理重复字符。这个字符可用：在prefix中出现的次数 < 在字符集中出现的次数
			if (count(prefix, ch) < count(arr, ch)) {
				getPermutation(prefix + ch, arr);// 把字符加入前缀，进行递归
			}
		}

	}

	private static int count(String prefix, char ch) {// 计算当前字符在前缀prefix中出现的次数
		int cnt = 0;
		for (int i = 0; i < prefix.length(); i++) {
			if (prefix.charAt(i) == ch) {
				cnt++;
			}
		}
		return cnt;
	}

	private static int count(char[] arr, char ch) {// 计算当前字符在字符集中出现的次数
		int cnt = 0;
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			if (arr[i] == ch) {
				cnt++;
			}
		}
		return cnt;
	}
}

输出：213