【扩散模型】扩散模型讲解以及基础代码运用 附知识链接

李宏毅教学视频：
Link1

B站DDPM公式推导以及代码实现：
Link2

这个视频里面有论文里面的公式推导，并且1小时10分开始讲解实例代码。
后面一段时间看了一些其他博客，更加明白了。
就是通过将概率变为均匀分布的形式。正向添加噪声通过重采样技巧可以直接从t和噪声得到。反向推的时候借助一个多条件分布，然后通过各种变换，求得这个概率分布的均值和方差，然后根据公式Sample。
https://segmentfault.com/a/1190000043744225 扩散模型(Diffusion Model)详解：直观理解、数学原理、PyTorch （代码实现）
https://blog.csdn.net/qq_40714949/article/details/126643111 简单基础入门理解Denoising Diffusion Probabilistic Model，DDPM扩散模型
https://blog.csdn.net/zhL816/article/details/127990163 DDPM（Denoising Diffusion Probabilistic Models）扩散模型简述
https://blog.csdn.net/Little_White_9/article/details/124435560 VLB公式推导
思维图：

扩散模型概念：

就像石头里面已经有了雕塑，只需要看我们怎么把其他多余的部分去掉。

注意观察，我们每一个Denoise阶段都不一样，因为每一个阶段传入的图片以及需要处理的noise都不一样，并且直接产生图片比直接产生噪音更难，所以我们通过预测noise来解决问题。

比如下图所示：step2是我们加的噪声，那么传入input和2的时候就希望预测出gt了，然后进行相减得到step1的图片。

Diffusion Model工作原理：

VAE和Diffusion的区别

先看整个训练过程:

实际结果和我们想的是不一样的。训练时通过X0和噪声得到一个图，逆向的时候输入t和生成的图来得到噪音。想象的是一点一点加入噪音，实际上是直接加进去的。
推断时刻：theat是带有参数的网络。

影像生成模型本质上的共同目标

通过采样一个高深distribution生成一个图片。希望生成的图片和真实的图片的distribution很接近。

那么怎么衡量这两个分布的接近程度呢？多数采用的都是Maximum liklihood Estimation.
我们希望我们采样的数据能够通过theta网络计算出来的概率越大越好。
通过数学变换，将概率最大变为Pdata和Ptheat这两个distribution的KL散度最小。

VAE的下界
Ptheat(x)表示：通过theta产生x的概率。

DDPM计算Ptheta(x)的方法 下图表示产生X0的概率。

两者对比

接下来需要计算q(x1|x0)此类公式。
计算方法：X1到X2的计算方法在论文中有提及。

两个高斯分布都是服从N(0,1),相加的话还是一个高斯分布，并且还是服从N（0，1）,只是前面系数会发生变化。系数的话是根号下面数字相加。所以相加之后均值还是为0，方差a方加b方即可，这个在另外一个视频里面有讲解。

经过一番推导之后得到：

之后计算最下面三项：

通过以下推导：

之后通过X0,Xt可以得到Xt-1的分布。

可以看到前面一项的mean 和 variance是固定的，第二项的variance也是固定的，因此我们需要把第二项的mean变得和第一项的接近。

那么怎么minimiaze这个mean呢？希望用Xt去预测出来那个mean。

经过推导：

最终得到下图：

里面beta可以学习，但是效果不好，所以使用线性固定。最后加上一个噪声猜测是为了增强鲁棒性，并且本身就是从噪声开始，不加噪声的话可能不会生成图片。

B站简单示例代码讲解

# 加载数据集
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.datasets import make_s_curve
import torch

s_curve,_ = make_s_curve(10**4,noise=0.1)
print(np.shape(s_curve))
s_curve = s_curve[:,[0,2]]/10.0

print("shape of s:",np.shape(s_curve))

data = s_curve.T

fig,ax = plt.subplots()
ax.scatter(*data,color='blue',edgecolor='white');

ax.axis('off')
 
dataset = torch.Tensor(s_curve).float()

# 2确定超参数的值
num_steps = 100
#制定每一步的beta
betas = torch.linspace(-6,6,num_steps)
betas = torch.sigmoid(betas)*(0.5e-2 - 1e-5)+1e-5
​
#计算alpha、alpha_prod、alpha_prod_previous、alpha_bar_sqrt等变量的值
alphas = 1-betas
alphas_prod = torch.cumprod(alphas,0)
# print(alphas_prod)
alphas_prod_p = torch.cat([torch.tensor([1]).float(),alphas_prod[:-1]],0)
# print(alphas_prod_p)
alphas_bar_sqrt = torch.sqrt(alphas_prod)
one_minus_alphas_bar_log = torch.log(1 - alphas_prod)
one_minus_alphas_bar_sqrt = torch.sqrt(1 - alphas_prod)
​
assert alphas.shape==alphas_prod.shape==alphas_prod_p.shape==\
alphas_bar_sqrt.shape==one_minus_alphas_bar_log.shape\
==one_minus_alphas_bar_sqrt.shape
print("all the same shape",betas.shape)

、确定扩散过程任意时刻的采样值

#3 计算任意时刻的x采样值，基于x_0和重参数化
def q_x(x_0,t):
    """可以基于x[0]得到任意时刻t的x[t]"""
    noise = torch.randn_like(x_0)
    alphas_t = alphas_bar_sqrt[t]
    alphas_1_m_t = one_minus_alphas_bar_sqrt[t]
    return (alphas_t * x_0 + alphas_1_m_t * noise)#在x[0]的基础上添加噪声
j
# 4 演示原始数据分布加噪100步后的结果

num_shows = 20
fig,axs = plt.subplots(2,10,figsize=(28,3))
plt.rc('text',color='black')
​
#共有10000个点，每个点包含两个坐标
#生成100步以内每隔5步加噪声后的图像
for i in range(num_shows):
    j = i//10
    k = i%10
    q_i = q_x(dataset,torch.tensor([i*num_steps//num_shows]))#生成t时刻的采样数据
    axs[j,k].scatter(q_i[:,0],q_i[:,1],color='red',edgecolor='white')
    axs[j,k].set_axis_off()
    axs[j,k].set_title('$q(\mathbf{x}_{'+str(i*num_steps//num_shows)+'})$')

# 5 编写拟合逆扩散过程高斯分布的模型

import torch
import torch.nn as nn
​
class MLPDiffusion(nn.Module):
    def __init__(self,n_steps,num_units=128):
        super(MLPDiffusion,self).__init__()
        
        self.linears = nn.ModuleList(
            [
                nn.Linear(2,num_units),
                nn.ReLU(),
                nn.Linear(num_units,num_units),
                nn.ReLU(),
                nn.Linear(num_units,num_units),
                nn.ReLU(),
                nn.Linear(num_units,2),
            ]
        )
        self.step_embeddings = nn.ModuleList(
            [
                nn.Embedding(n_steps,num_units),
                nn.Embedding(n_steps,num_units),
                nn.Embedding(n_steps,num_units),
            ]
        )
    def forward(self,x,t):
#         x = x_0
        for idx,embedding_layer in enumerate(self.step_embeddings):
            t_embedding = embedding_layer(t)
            x = self.linears[2*idx](x)
            x += t_embedding
            x = self.linears[2*idx+1](x)
            
        x = self.linears[-1](x)
        
        return x

loss_fn 就是Lsimple得表达式。通过传入参数，生成一个随机噪声，并且送入model里面，那么上面也讲了，model的作用是根据X0,和t预测出我们应该减去的噪声，所以损失函数就是用生成的噪声减去预测的噪声。

# 6 编写训练的误差函数
def diffusion_loss_fn(model,x_0,alphas_bar_sqrt,one_minus_alphas_bar_sqrt,n_steps):
    """对任意时刻t进行采样计算loss"""
    batch_size = x_0.shape[0]
    
    #对一个batchsize样本生成随机的时刻t
    t = torch.randint(0,n_steps,size=(batch_size//2,))
    t = torch.cat([t,n_steps-1-t],dim=0)
    t = t.unsqueeze(-1)
    
    #x0的系数
    a = alphas_bar_sqrt[t]
    
    #eps的系数
    aml = one_minus_alphas_bar_sqrt[t]
    
    #生成随机噪音eps
    e = torch.randn_like(x_0)
    
    #构造模型的输入
    x = x_0*a+e*aml
    
    #送入模型，得到t时刻的随机噪声预测值
    output = model(x,t.squeeze(-1))
    
    #与真实噪声一起计算误差，求平均值
    return torch.pow((e - output),2).mean()
# 7、编写逆扩散采样函数（inference）

def p_sample_loop(model,shape,n_steps,betas,one_minus_alphas_bar_sqrt):
    """从x[T]恢复x[T-1]、x[T-2]|...x[0]"""
    cur_x = torch.randn(shape)
    x_seq = [cur_x]
    for i in reversed(range(n_steps)):
        cur_x = p_sample(model,cur_x,i,betas,one_minus_alphas_bar_sqrt)
        x_seq.append(cur_x)
    return x_seq
​
def p_sample(model,x,t,betas,one_minus_alphas_bar_sqrt):
    """从x[T]采样t时刻的重构值"""
    t = torch.tensor([t])
    
    coeff = betas[t] / one_minus_alphas_bar_sqrt[t]
    
    eps_theta = model(x,t)
    
    mean = (1/(1-betas[t]).sqrt())*(x-(coeff*eps_theta))
    
    z = torch.randn_like(x)
    sigma_t = betas[t].sqrt()
    
    sample = mean + sigma_t * z
    
    return (sample)
# 8、开始训练模型，打印loss及中间重构效果

seed = 1234
​
class EMA():
    """构建一个参数平滑器"""
    def __init__(self,mu=0.01):
        self.mu = mu
        self.shadow = {}
        
    def register(self,name,val):
        self.shadow[name] = val.clone()
        
    def __call__(self,name,x):
        assert name in self.shadow
        new_average = self.mu * x + (1.0-self.mu)*self.shadow[name]
        self.shadow[name] = new_average.clone()
        return new_average
    
print('Training model...')
batch_size = 128
dataloader = torch.utils.data.DataLoader(dataset,batch_size=batch_size,shuffle=True)
num_epoch = 4000
plt.rc('text',color='blue')
​
model = MLPDiffusion(num_steps)#输出维度是2，输入是x和step
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(),lr=1e-3)
​
for t in range(num_epoch):
    for idx,batch_x in enumerate(dataloader):
        loss = diffusion_loss_fn(model,batch_x,alphas_bar_sqrt,one_minus_alphas_bar_sqrt,num_steps)
        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        torch.nn.utils.clip_grad_norm_(model.parameters(),1.)
        optimizer.step()
        
    if(t%100==0):
        print(loss)
        x_seq = p_sample_loop(model,dataset.shape,num_steps,betas,one_minus_alphas_bar_sqrt)
        
        fig,axs = plt.subplots(1,10,figsize=(28,3))
        for i in range(1,11):
            cur_x = x_seq[i*10].detach()
            axs[i-1].scatter(cur_x[:,0],cur_x[:,1],color='red',edgecolor='white');
            axs[i-1].set_axis_off();
            axs[i-1].set_title('$q(\mathbf{x}_{'+str(i*10)+'})$')

最后的演示

动画演示扩散过程和逆扩散过程

import io
from PIL import Image
​
imgs = []
for i in range(100):
    plt.clf()
    q_i = q_x(dataset,torch.tensor([i]))
    plt.scatter(q_i[:,0],q_i[:,1],color='red',edgecolor='white',s=5);
    plt.axis('off');
    
    img_buf = io.BytesIO()
    plt.savefig(img_buf,format='png')
    img = Image.open(img_buf)
    imgs.append(img)
mg = Image.open(img_buf)
    reverse.append(img)
reverse = []
for i in range(100):
    plt.clf()
    cur_x = x_seq[i].detach()
    plt.scatter(cur_x[:,0],cur_x[:,1],color='red',edgecolor='white',s=5);
    plt.axis('off')
    
    img_buf = io.BytesIO()
    plt.savefig(img_buf,format='png')
    img = Image.open(img_buf)
    reverse.append(img)
​
imgs = imgs +reverse
imgs[0].save("diffusion.gif",format='GIF',append_images=imgs,save_all=True,duration=100,loop=0)