高度平衡的二叉搜索树简介

什么是一个高度平衡的二叉搜索树?

树结构中的常见用语:

节点的深度 - 从树的根节点到该节点的边数

节点的高度 - 该节点和叶子之间最长路径上的边数

树的高度 - 其根节点的高度

一个高度平衡的二叉搜索树（平衡二叉搜索树）是在插入和删除任何节点之后，可以自动保持其高度最小。也就是说，有 N 个节点的平衡二叉搜索树，它的高度是 logN 。并且，每个节点的两个子树的高度不会相差超过 1。

为什么是 logN 呢?

一个高度为 h 的二叉树 

.换言之，一个有 N 个节点，且高度为 h 的二叉树

 

所以根据定义, 我们可以判断出一个二叉搜索树是否是高度平衡的 (平衡二叉树)。

正如我们之前提到的, 一个有 N 个节点的平衡二搜索叉树的高度总是 logN。因此，我们可以计算节点总数和树的高度，以确定这个二叉搜索树是否为高度平衡的。

同样，在定义中， 我们提到了高度平衡的二叉树一个特性：每个节点的两个子树的深度不会相差超过 1。我们也可以根据这个性质，递归地验证树。

为什么需要用到高度平衡的二叉搜索树?

我们已经介绍过了二叉树及其相关操作, 包括搜索、插入、删除。当分析这些操作的时间复杂度时，我们需要注意的是树的高度是十分重要的考量因素。以搜索操作为例，如果二叉搜索树的高度为 h ，则时间复杂度为 O(h) 。二叉搜索树的高度的确很重要。

所以，我们来讨论一下树的节点总数 N 和高度 h 之间的关系。对于一个平衡二叉搜索树, 我们已经在前文中提过，

但一个普通的二叉搜索树，在最坏的情况下，它可以退化成一个链。

因此，具有 N 个节点的二叉搜索树的高度在 logN 到 N 区间变化。也就是说，搜索操作的时间复杂度可以从logN 变化到 N 。这是一个巨大的性能差异。

所以说，高度平衡的二叉搜索树对提高性能起着重要作用。

如何实现一个高度平衡的二叉搜索树?

有许多不同的方法可以实现。尽管这些实现方法的细节有所不同，但他们有相同的目标:

采用的数据结构应该满足二分查找属性和高度平衡属性。

采用的数据结构应该支持二叉搜索树的基本操作，包括在 O(logN) 时间内的搜索、插入和删除，即使在最坏的情况下也是如此。

我们提供了一个常见的的高度平衡二叉树列表供您参考：

红黑树

AVL树

伸展树

树堆

高度平衡的二叉搜索树的实际应用

• 高度平衡的二叉搜索树在实际中被广泛使用，因为它可以在 O(logN) 时间复杂度内执行所有搜索、插入和删除操作。
• 平衡二叉搜索树的概念经常运用在 Set 和 Map 中。Set 和 Map 的原理相似。 我们将在下文中重点讨论 Set 这个数据结构。
• Set（集合）是另一种数据结构，它可以存储大量 key（键）而不需要任何特定的顺序或任何重复的元素。 它应该支持的基本操作是将新元素插入到 Set 中，并检查元素是否存在于其中。
• 通常，有两种最广泛使用的集合：散列集合（Hash Set）和 树集合（Tree Set）。
• 树集合，Java 中的 Treeset 或者 C++ 中的 set ，是由高度平衡的二叉搜索树实现的。因此，搜索、插入和删除的时间复杂度都是 O(logN) 。
• 散列集合，Java 中的 HashSet 或者 C++ 中的 unordered_set ，是由哈希实现的，但是平衡二叉搜索树也起到了至关重要的作用。当存在具有相同哈希键的元素过多时，将花费 O(N) 时间复杂度来查找特定元素，其中N是具有相同哈希键的元素的数量。 通常情况下，使用高度平衡的二叉搜索树将把时间复杂度从 O(N) 改善到 O(logN) 。
• 哈希集和树集之间的本质区别在于树集中的键是有序的。

总结

高度平衡的二叉搜索树是二叉搜索树的特殊表示形式，旨在提高二叉搜索树的性能。但这个数据结构具体的实现方式，超出了我们这章的内容，也很少会在面试中被考察。但是了解高度平衡二叉搜索树的的基本概念，以及如何运用它帮助你进行算法设计是非常有用的。

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