欧拉函数和线性筛法：AcWing 874. 筛法求欧拉函数

#include
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=1e6+10;
int primes[N],cnt;
int euler[N];
bool state[N];

void get_euler(int n)
{
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!state[i])
        {
            primes[cnt++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            int t=primes[j]*i;
            state[t]=true;
            if(i%primes[j]==0)
            {
                euler[t]=euler[i]*primes[j];
                break;
            }
            euler[t]=euler[i]*(primes[j]-1);
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    get_euler(n);
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)   ans+=euler[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

1.属于是先手推数学式子，然后代码比较简单的题目

2. 线性筛法，之前接触过一道类似的线性筛法的题目：线性筛法

3.线性筛法是一个算法模板

#include
using namespace std;

const int N=1e6+10;
bool state[N];
int primes[N],cnt;

void euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!state[i])
        {
            primes[cnt++]=i;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            int t=primes[j]*i;
            state[t]=true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    euler(n);
    printf("%d\n",cnt);
    return 0;
}

顺便写一下这一道题目的笔记：AcWing 868. 筛质数

4. 下面详细分析一下线性筛法之外的数学部分的内容

5.从1一直到某一个质因子的欧拉函数的数值是质因子-1，这是第一种情况

6.第二种情况，primes[j]是i的一个质因子，根据欧拉函数公式，

euler[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk);
euler[i*primes[j]]=(i*primes[j])*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk);

因为primes[j]是某一个质因子，所以后面部分是一样的，上面下面相互对照，可以得到，

euler[t]=euler[i]*primes[j];

7.第三种情况，primes[j]不是i的质因子，

euler[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...(1-1/pk);
euler[i*primes[j]]=(i*primes[j])*(1-1/p1)*(1-1/p2)*..*(1-1/primes[j]);
euler[i*primes[j]]=i*(1-1/p2)*...(1-1/pk)*(primes[j]-1);
//把第二行式子最后面的括号通分，和最前面的primes[j]约掉，得到第三行的式子
//再把第一行的式子和第三行的式子进行对照

可以得到

           euler[t]=euler[i]*(primes[j]-1);

（自己可以推导出来的数学式子也很有趣呢（））

8.break是直接跳出循环，不只是跳出if的条件判断

9.以上就是这个题目的全部内容，没有比当傻瓜更简单的事儿了，为了一件事情疯狂，总有一天可以从中找到答案。