LeetCode 84. 柱状图中最大的矩形 | Python

84. 柱状图中最大的矩形

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题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/

题目

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给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。

求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

histogram

以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。

histogram_area

图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。

示例:

输入: [2,1,5,6,2,3]
输出: 10

解题思路

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思路：栈

在说栈之前，我们先说一下，关于暴力解，如何去解决这个问题。

题目中要我们去求能勾勒出最大矩形面积，其实求矩形面积，有两种方法：

• 固定宽度，高度变化，求最大面积
• 固定高度，改变宽度，求最大面积

在这道题当中，使用第二种方法是比较容易去求得结果。具体如何去实现？

这里，我们依次去遍历柱形的高度，然后对每个高度都向两边进行扩散，（当左右遇到柱形高度比当前柱形高度小的柱形时，那么将无法继续扩散）这样就能求出当前高度能扩散的最大宽度。当求出宽度时，就能够求出面积。依次去比较以每个柱形高度进行最大扩散的面积，最终确定最大的面积。

这里 Python 使用暴力解会超时，这里就不给出代码了 。（不过建议个人可尝试编写）

我们使用暴力解的时候，遍历的时候要从中间进行扩散，这里时间复杂度是 O(n^2)，而空间复杂度为 O(1)，因为只用了常数个变量。那么我们可以考虑使用【空间换时间】的思路，在我们进行遍历的时候去记录一些信息。

这里注意上面标注黑色字体加重的内容，【当左右遇到柱形高度比当前柱形高度小的柱形时，那么将无法继续扩散】，这里我们可以想到，问题的关键就是要找到左右两侧比当前柱形高度小的柱形，这样就能确定宽度。

这里我们构造一个单调栈。

单调栈：分为单调递增和递减的栈。

• 单调递增栈，栈内元素保持单调递增
• 单调递减栈，栈内元素保持单调递减

本题构建的栈是单调递增栈，具体如何操作：

• 如果遍历元素大于栈顶元素，则入栈
• 如果遍历的新元素较小时，就弹出栈内元素直至栈顶元素比新的元素小。

我们来看示例，[2,1,5,6,2,3]

histogram

我们构建栈，存储的是数组中的索引。

结合上面的图例来看，在这里，假设我们现在索引指向的元素是 6 时（这时，栈内的对应的是 1 5 6 的索引），下一个元素是 2，按照单调递增栈的操作，这里 6 需要出栈，那么 2 就是这个元素往后的第一个比它小的元素。当元素出栈之后，现在栈顶的元素就是出栈元素往前的第一个比其小的元素，即是此时的 5，这个时候，高度为 6 的这个柱形的宽度就能够确定下，进而面积也能够确定。

同理此时的栈顶索引对应的元素为 5，同样比 2 小，需要出栈，此时的栈顶对应元素为 1（跟上面的逻辑一样，这个就是出栈元素往前第一个比它小的元素），那么高度为 5 的宽度就能够确定下，即是元素 1 和元素 2 之间的宽度。

按照这个逻辑，具体的实现思路：

• 构建单调递增栈
• 遍历元素大于栈顶元素，入栈
• 如果遍历元素小于栈顶元素，进行出栈
• 出栈的同时，确定宽度，求出面积。

具体实现代码如下。

代码实现

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class Solution:
    def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
        size = len(heights)
        # 这里我们使用哨兵节点，这样就能够避免非空判断
        heights = [0] + heights + [0]
        # 数组长度发生了变化
        size += 2
        # 将哨兵先放入栈中
        stack = [0]
        ans = 0

        for i in range(1, size):
            # 与栈顶元素比较，进行判断是否要入栈
            # 出栈的逻辑
            while heights[i] < heights[stack[-1]]:
                cur_height = heights[stack.pop()]
                # 确定宽度
                cur_width = i - stack[-1] - 1
                ans = max(ans, cur_height * cur_width)
            stack.append(i)
        
        return ans

实现结果

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实现结果

总结

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• 先使用暴力解，发现解决此问题的方法，可以先固定高度，求宽度，进而求面积；
• 构建单调递增栈，实现一次遍历求得结果
  • 首先，栈的实现操作，遍历元素大于栈顶元素时，进行入栈。
  • 当遍历元素小于栈顶元素时，要进行出栈，这个时候确定宽度，求得面积。
• 代码中使用了哨兵节点，这里主要是为了避免非空判断，可以让代码更简洁。

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