高中奥数 2021-11-13

2021-11-13-01

解析法

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P113 例9）

梯形中,平行于,作点,使.设与相交于点,、分别为、的外心.求证:

证明

取中点为,由,所以.

以为轴,为轴建立直角坐标系,不妨设,,,,.

图1

1°若,则直线:

.(1)

直线:

.(2)

联立(1)、(2)知,所以

.(3)

而直线中垂线方程为.

直线中垂线方程为

所以.

同理,.

所以 $K_{O_{1}O_{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{c}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}{\dfrac{c}{2}-\dfrac{d}{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{c+d}{2}\right)}{\dfrac{c-d}{2}}=\dfrac{c+d}{b\left(c-d\right)}$ .(4)

由(3)(4)知.

所以.

2°若,则由对称性知.

综上,.

2021-11-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P114 例10）

在中,,有一圆内切于的外接圆,且与和分别相切于点和.求证:点和连线的中点是的内切圆圆心.

证明

设中点为,则在的平分线上.

如图建立直角坐标系,设,.

图2

设的外接圆的圆心为内切圆的圆心为.

连结.

则到与的距离等于,故只需证明到的距离也等于,即

因为的外接圆直径

所以,,

从而,的方程为

而的方程为.

解上述两方程得

故命题成立.

2021-11-13-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P115 例11）

和被包含在内,且分别与相切于两个不同的点和.经过点,经过和的两个交点的直线与相交于点和.直线和分别与相交于和.证明:与相切.

证明

如图,以为坐标原点,为轴正半轴,建立如图所示坐标系.

图3

设、、的半径分别为、、,.

连结,,,则的方程为

方程为

所以,的方程为

即.

又与关于原点成位似图形(位似比为),所以,的方程为

即.(1)

又,

所以,.

将上式代入(1)得的方程

从而,到的距离为(注意的坐标为)

因此,与相切.

2021-11-13-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P116 例12）

求最小常数,使得对正方形内部任一点,都存在、、,中的某两个三角形,使得它们的面积之比属于区间.(2008第七届女子数学奥林匹克)

解*

先证明,记.

如图,不妨设正方形边长.

图4

对正方形内部一点,令,,,分别表示,,,的面积,不妨设.

令,,如果,

由,得,得.

故,矛盾.

故,这表明.

反过来对于任意,取定,使得.

我们在正方形内取点,使得,,,,则我们有

由此我们得到对任意,有.

这表明.

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