【题解】T156527 直角三角形

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审题

根据勾股定理，$a^2+b^2==c^2$。

当然，由于勾股定理不在小学数学考查的的范围内，我们需要对勾股定理进行一些证明，让小学生能够轻松地做出此题。

勾股定理的证明

赵爽弦图

这个↑，就是传说中的“赵爽弦图”。

赵爽（？－？），一名婴，字君卿，是中国在三国时期吴国的数学家。生卒年不详，是否生活在三国时代其实也受质疑，著有《周髀算经注》，即对《周髀算经》的详细注释。

“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

——赵爽《勾股圆方图说》

“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”

——赵爽《勾股圆方图说》

语文好的同学，可以直接看下一个证明方法了。

在这张途中，正方形ABDE以弦为边长，由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成。

不妨设 $AE=BF=CG=DH=a$，$BE=CF=DG=AH=b$，$AB=BC=CD=DA=c$。

那么，

$S_{\text{正方形}EFGH}=(b-a{)}^2$ ，

$S_{\text{△}AEB}=S_{\text{△}BFC}=S_{\text{△}CGD}=S_{\text{△}DHA}=\frac{a\times b}{2}$ ，

$4S_{\text{△}}=2ab$，

$\therefore S_{\text{正方形}ABCD}=4S_{\text{△}}+S_{\text{正方形}EFGH}=(b-a{)}^2+2ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$

又$\text{∵}{S}_{\text{正方形}ABCD}=c^2$

$\text{∴}{a}^2+b^2=c^2$

证毕。

青朱出入图

没错就是这个，上面那张图多看几遍就会恍然大悟。

刘徽（约225年－约295年），山东淄博淄川人，三国时代魏国数学家，梁敬王刘定国之孙菑乡侯刘逢喜的后裔。

青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，其法富有东方智慧（？莫名想起这个），特色鲜明、通俗易懂。

利用相似三角形的证法

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设 $ABC$ 为一直角三角形，直角于 $\angle C$（看右图）。从点 $C$ 画上三角形的高，并将此高与 $\overline{AB}$ 的交叉点称之为 $H$。此新 $△ACH$ 和原本的 $△ABC$ 相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有 $A$ 这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，$△CBH$ 和 $△ABC$ 也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为

$\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overline{AB}=c,$

所以

$\frac{a}{c}=\frac{\overline{HB}}{a}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{b}{c}=\frac{\overline{AH}}{b}.$

可以写成

$a^2=c\times \overline{HB}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{b}^2=c\times \overline{AH}.$

综合这两个方程，我们得到

$a^2+b^2=c\times \overline{HB}+c\times \overline{AH}=c\times (\overline{HB}+\overline{AH})=c^2.$

换句话说:

$a^2+b^2=c^2.a^2+b^2=c^2.$

欧几里得的证法

在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

• SAS（如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。）

• 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

• 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

• 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

其中3、4两个定理小学已经讲过了，这里不再赘述。

为了证明勾股定理，我们首先证明SAS。

由几何直观可得：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。

证毕。

好吧，SAS是一个公理（依据人类理性的不证自明的基本事实<来自百度百科>）。

下面是欧几里得对于勾股定理的证明。

1. 设 $△ABC$ 为一直角三角形，其直角为 $\angle CAB$ 。
2. 其边为 $\overline{BC}$、$\overline{AB}$、和 $\overline{CA}$，依序绘成四方形 $CBDE$、$BAGF$ 和 $ACIH$。
3. 画出过点 $A$ 之 $\overline{BD}$、$\overline{CE}$的平行线。此线将分别与 $\overline{BC}$ 和 $\overline{DE}$ 直角相交于 $K$、$L$。
4. 分别连接 $\overline{CF}$、$\overline{AD}$，形成两个三角形 $BCF$、$BDA$。
5. $\angle CAB$ 和 $\angle BAG$ 都是直角，因此 $C$、$A$ 和 $G$都是共线的，同理可证 $B$、$A$ 和 $H$共线。
6. $\angle CBD$ 和 $\angle FBA$ 皆为直角，所以 $\angle ABD$ 相等于 $\angle FBC$。
7. 因为$\overline{AB}$ 和 $\overline{BD}$ 分别等于 $\overline{FB}$ 和 $\overline{BC}$，所以 $△ABD$ 必须全等于 $△FBC$。
8. 因为 $A$ 与 $K$ 和 $L$ 在同一直线上，所以四方形 $BDLK$ 必须二倍面积于 $△ABD$。
9. 因为 $C$、$A$ 和 $G$ 在同一直线上，所以正方形 $BAGF$ 必须二倍面积于 $△FBC$。
10. 因此四边形 $BDLK$ 必须和 $BAGF$ 有相同的面积=${\overline{AB}}^2$。
11. 同理可证，四边形 $CKLE$ 必须有相同的面积 $ACIH={\overline{AC}}^2$。
12. 把这两个结果相加，${\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2=\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}$
13. 由于 $\overline{BD}=\overline{KL}\overline{BD}=\overline{KL}，\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}=\overline{BD}\left(\overline{BK}+\overline{KC}\right)=\overline{BD}\times \overline{BC}$
14. 由于 $CBDE$ 是个正方形，因此 ${\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2={\overline{BC}}^2{\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2={\overline{BC}}^2$。

欧几里得（希腊语：Ευκλειδης，古希腊语：Εὐκλείδης，前325年－前265年），有时被称为亚历山大里亚的欧几里得，以便区别于墨伽拉的欧几里得。希腊化时代的数学家，被称为**“几何学之父”。他活跃于托勒密一世时期的亚历山大里亚，也是亚历山太学派的成员。他在著作《几何原本》**中提出五大公设，成为欧洲数学的基础。欧几里得也写过一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得几何被广泛的认为是数学领域的经典之作。

图形重新排列证法

此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为 $(a+b{)}^2$。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为 $a^2+b^2$，右方余下面积为 $c^2$，两者相等。证毕。

总统证法

证明：$\text{∵}{S}_{\text{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(a+b{)}^2=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$

又$\text{∵}{S}_{\text{梯形}ABCD}=S_{\text{△}AED}+S_{\text{△}EBC}+S_{\text{△}DEC}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ba+\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}(2ab+c^2)$

$\text{∴}{c}^2=a^2+b^2$

证毕。

詹姆斯·艾伯拉姆·伽菲尔德（英语：James Abram Garfield，1831年11月19日—1881年9月19日），美国政治家、数学家，生于俄亥俄州。美国共和党人。南北战争期间加入北方军队，与南方奴隶制军队作战，拥有少将军衔。1880年加菲尔德当选为第20任总统，他是美国首位具有神职人员身份的总统。就职仅4个月即遭暗杀，是美国第二位被暗杀的总统。他在数学方面的贡献主要是在勾股定理的证明方面的新成就，他也是美国历史上唯一一位数学家出身的总统。他的第一夫人是卢克丽霞·鲁道夫，育有五子二女。

代码

相信你们看完了以上的证明已经对勾股定理有了初步的了解。那么，现在我们就可以开始写代码了：

#include 
using namespace std;

int main() {
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      if (i * i + j * j == n * n) {
        cout << i << ' ' << j << endl;
        return 0;
      }
}

这份已经是AC的代码了，如果让它运行得更快一点的话，可以稍稍地做一点优化。

为了让 $a$，也就是 $i$ 最小，$a$ 肯定小于 $b$。所以可以让 $j$ 从 $i$ 开始循环。代码如下：

#include 
using namespace std;

int main() {
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      if (i * i + j * j == n * n) {
        cout << i << ' ' << j << endl;
        return 0;
      }
}

第一份代码运行了121ms，第二份运行了113ms。所以，我们要想办法优化自己的程序，使自己的程序加快不到10ms。

评价

此题涉及如此多的数学知识，建议至少评蓝。