行列式（二）- 行列式的性质

行变换

定理 3（行变换）
令是一个方阵。
若的某一行的倍数加到另一行得矩阵，则
若的两行互换得矩阵，则
若的某行乘以倍得到矩阵，则

计算，其中
解：

交换第2行与第3行时行列式取反号，即

计算，其中
解：第一行提出共因子2，再进行行化简。

若一个方阵通过行倍加和行交换化简为阶梯形，且次过程经过了次行交换，则定理 3表明。由于是阶梯形，故它是三角阵，因此是主对角线上的元素的乘积。若可逆，则元素都是主元；否则，至少有等于零，乘积为零。从而有以下公式：

注意：尽管上述中的阶梯形是不唯一的，主元也不是唯一的，但除了差一个符号外，这些主元的乘积是唯一的。
定理 4 方阵是可逆的当且仅当。

行列式与矩阵乘积

定理 6（乘法的性质）
若和均为矩阵，则。
对，验证定理 6。
解：