第十八讲 数据结构之图（一）

图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成，通常表示为：G(V，E)，其中，G 表示一个图，V 是图 G 中顶点的集合，E 是图 G 中边的集合。

1. 线性表中将数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素称之为顶点（Vertex）。
2. 顶点集合 V 有穷非空。
3. 图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

各种图

无向边：若顶点 vi 到 vj 之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对（vi，vj）来表示。 如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。对于下图无向图 G1 来说，G1=（V1，E1），其中顶点集合 V1={a，b，c，d，e}；边集合 E1={ (a，b)，(a，d)，(a，c)，(c，e)，(d，e) }

图a 无向图

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

无向完全图

有向边：若顶点 vi 到 vj 之间的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用有序偶对 来表示，vi 称为弧尾（Tail），vi 称为弧头（Head）。 如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。对于下图无向图 G2 来说，G2=（V2，E2），其中顶点集合 V2={a，b，c，d，e}；弧集合 E2={ ，，，， }

图b 有向图

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。

有向完全图

简单图：在图中，若不存在顶点到自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

有很少条边的图称为稀疏图，反之称为稠密图。这里的稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的。

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight）。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网（Network）。

设图 G = (V，E) 和图 G’ = (V’，E’)。如果 V’ ⊆ V 且 E’ ⊆ E，则称 G’ 是 G 的一个子图（Subgraph）。如果 V’ = V 且 E’ ⊆ E，则称 G’是 G 的一个生成子图（Spanning Subgraph）。

原图-----------------------------子图-----------------------生成子图

图的顶点与边间关系

对于无向图 G = (V，E)，如果边 (u，v) ∈ E，则称顶点 u 与顶点 v 互为邻接点。边 (u，v) 依附于顶点 u 和 v，或者说边 (u，v) 与顶点 u 和 v 相关联。顶点 v 的度（Degree）是和 v 相关联的边的数目。记为 TD(v)。例如在上图（a）所示的无向图中，边 (a，b) 依附于顶点 a 与 b 上，TD(a) = 3，TD(c) = TD(d) = TD(e) = 2，TD(b) = 1。而此图的边数是 5，各个顶点度的和： 3+2+2+2+1=10，经过分析后发现，边数就是各顶点度数和的一半，记为

对于有向图 G = ( V，E )，如果弧 ∈E，则称顶点 u 邻接到顶点 v，顶点 v 邻接自顶点 u，弧 与顶点 u 和 v 相关联。以顶点 v 为头的弧的数目称为 v 的入度（InDegree），记为 ID(v)；以顶点 v 为尾的弧的数目称为 v 的出度（OutDegree），记为 OD(v)；顶点 v 的度为 TD(v) = ID(v) + OD(v)。而在上图（b）所示的有向图中 ID(a) = 2，OD(a) = 1；TD(a) = 2+1 = 3。此有向图的弧有 5 条，而各个顶点的出度和：1+1+1+1+1=5，入度和：2+0+1+1+1=5。所以

图中的一条通路或路径（Path），就是由 m+1 个顶点与 m 条边交替构成的一个序列 ρ = { v0，e1，v1，e2，v2，…，em，vm }，m ≥ 0，且 ei = (vi-1，vi)，1 ≤ i ≤ m。路径上边的数目称为路径长度，记作 |ρ|。
长度 |ρ| ≥ 1 的路径，若路径的第一个顶点与最后一个顶点相同，则称之为环路或环 (Cycle)。
如果组成路径 ρ 的所有顶点各不相同，则称之为简单路径（Simple Path）；如果在组成环的所有顶点中，除首尾顶点外均各不相同，则称该环为简单环路（Simple Cycle）。例如下图中左图是简单环而右图，由于顶点 C 的重复，它就不是简单环了。

联通图相关术语

在无向图 G 中，如果顶点 v 到顶点 v’ 有路径，则称 v 和 v’ 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 vi、vj ∈ V，vi 和 vj 都是连通的，则称 G 是连通图（Connected Graph）。无向图中的极大连通子图称为连通分量。
注意连通分量的概念，他强调:

1. 要是子图；
2. 子图要是连通的；
3. 连通子图含有极大顶点数；
4. 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

例如，下图（1）不是连通图，而图（2）和（3）是图（1）的两个连通分量。

在有向图 G 中，如果对于每一对 vi、vj ∈ V，vi ≠ vj ，从 vi 到 vj 和从 vj 到 vi 都存在路径，则称 G 是强连通图。有向图中的极大强连通子图称为强连通分量。
例如，下面左图并不是强连通图，因为顶点 b 到顶点 a 路径不存在。右图就是强连通图，而且是左图的强连通分量。

连通图的生成树

连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的 n 个顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边。比如下图 1 是一普通图，但显然它不是生成树，当去掉两条构成环的边后，比如图 2 ，就满足 n 个顶点，n-1 条边且连通的定义了，因此图 2 是一颗生成树。如果一个图有 n 个顶点和小于 n-1 条边，则是非连通图，如果它多于 n-1 条边，必定构成一个环。不过有 n-1 条边并不一定是生成树。

如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 0，其余顶点的入度均为 1，则是一颗有向树。所谓入度为 0 其实就相当于树中的根结点，其余顶点入度为 1 就是说树中的非根节点的双亲只有一个。一个有向图的生成森林由若干颗有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干颗不相交的有向树的弧。如图 1 是一颗有向图。去掉一些弧后，它可以分解为两颗有向树，如图 2 和图 3 ，这两颗就是图 1 有向图的生成森林。

图的抽象数据类型

ADT 图（Graph）
Data 顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation：
CreateGraph(): 图的创建操作。
GetVex(G, v): 求图中的顶点v的值。
… …
DFSTraverse(G, V): 对图G深度优先遍历，每个顶点访问且只访问一次。
BFSTraverse(G, V): 对图G广度优先遍历，每个顶点访问且只访问一次。
end ADT