Leetcode刷题详解—— 地下城游戏

1. 题目链接：174. 地下城游戏

2. 题目描述：

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

**注意：**任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入：dungeon = [[0]]
输出：1

提示：

• m == dungeon.length
• n == dungeon[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• -1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

3. 解法（动态规划）

3.1 算法思路：

状态表示：

dp[i][j]表示：从[i,j]位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数

状态转移方程：

对于dp[i][j]，从 [i,j]位置出发，下一步会有两种选择（为了方便理解，设 dp[i][j]的最终答案是x）：

1.走到右边，然后走向终点

那么我们在 [i,j]位置的最低健康点加上这一个位置的消耗，应该要大于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x+dungeon[i][j]>=dp[i][j+1]

通过移项可得： x>=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]

2.走到下边，然后走向终点

那么我们在[i,j]位置的最低健康点数加上这一个位置的消耗，应该要大于等于下边位置的最低健康点数，也就是：x+dungeon[i][j]>dp[i+1][j]

通过移项可得：x>=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]

综上所述，我们需要的是两种情况下的最小值，因此可得状态转移方程为：

dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j]是一个比较大的正数的话，dp[i][j]的值可能变成0或者负数。也就是最低点数会小于1，那么骑士就会死亡，因此我们求出来的dp[i][j]如果小于等于0的话，说明此时的最低初始值应该为1，处理这种情况仅需让dp[i][j]=max(1,dp[i][j])

初始化：

可以在最前面加上一个辅助结点，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的

2. 下标的映射关系

在本题中，在dp表最后面添加一行、添加一列后，所有的值都先初始化为无穷大，然后让dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1即可

顺序填表：

根据状态转移方程，我们需要从下往上填每一行，每一行从右往左

返回值：

根据状态表示，我们需要返回dp[0][0]的位置

3.2 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector>& dungeon) {
        int m=dungeon.size();
        int n=dungeon[0].size();
        //创建dp表
        vector>dp(m+1,vector(n+1,INT_MAX));
        //初始化
        dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;
        //填表
        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        //返回值
        return dp[0][0];
    }
};