Leetcode刷题详解—— 地下城游戏

1. 题目链接:174. 地下城游戏

2. 题目描述:

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里,他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下,他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫,因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数(若房间里的值为负整数,则表示骑士将损失健康点数);其他房间要么是空的(房间里的值为 0),要么包含增加骑士健康点数的魔法球(若房间里的值为正整数,则表示骑士将增加健康点数)。

为了尽快解救公主,骑士决定每次只 向右向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

**注意:**任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁,也可能增加骑士的健康点数,包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1:

Leetcode刷题详解—— 地下城游戏_第1张图片

输入:dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出:7
解释:如果骑士遵循最佳路径:右 -> 右 -> 下 -> 下 ,则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2:

输入:dungeon = [[0]]
输出:1

提示:

  • m == dungeon.length
  • n == dungeon[i].length
  • 1 <= m, n <= 200
  • -1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

3. 解法(动态规划)

3.1 算法思路:

状态表示:

dp[i][j]表示:从[i,j]位置出发,到达终点时所需的最低初始健康点数

状态转移方程:

对于dp[i][j],从 [i,j]位置出发,下一步会有两种选择(为了方便理解,设 dp[i][j]的最终答案是x):

1.走到右边,然后走向终点

那么我们在 [i,j]位置的最低健康点加上这一个位置的消耗,应该要大于等于右边位置的最低健康点数,也就是: x+dungeon[i][j]>=dp[i][j+1]

通过移项可得: x>=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]。因为我们要的是最小值,因此这种情况下的 x=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]

2.走到下边,然后走向终点

那么我们在[i,j]位置的最低健康点数加上这一个位置的消耗,应该要大于等于下边位置的最低健康点数,也就是:x+dungeon[i][j]>dp[i+1][j]

通过移项可得:x>=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]。因为我们要的是最小值,因此这种情况下的 x=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]

综上所述,我们需要的是两种情况下的最小值,因此可得状态转移方程为:

dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j]

但是,如果当前位置的 dungeon[i][j]是一个比较大的正数的话,dp[i][j]的值可能变成0或者负数。也就是最低点数会小于1,那么骑士就会死亡,因此我们求出来的dp[i][j]如果小于等于0的话,说明此时的最低初始值应该为1,处理这种情况仅需让dp[i][j]=max(1,dp[i][j])

初始化:

可以在最前面加上一个辅助结点,帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点:

  1. 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的

  2. 下标的映射关系

在本题中,在dp表最后面添加一行、添加一列后,所有的值都先初始化为无穷大,然后让dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1即可

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顺序填表:

根据状态转移方程,我们需要从下往上填每一行,每一行从右往左

返回值:

根据状态表示,我们需要返回dp[0][0]的位置

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3.2 C++算法代码:

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector>& dungeon) {
        int m=dungeon.size();
        int n=dungeon[0].size();
        //创建dp表
        vector>dp(m+1,vector(n+1,INT_MAX));
        //初始化
        dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;
        //填表
        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        //返回值
        return dp[0][0];
    }
};

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