线性代数复习 第二章 矩阵

第二章 矩阵

2.1 矩阵的概念

矩阵的概念和运算

矩阵和前面的行列式定义类似，记 A=(aij)m×n 为 m×n 矩阵。

• 单位矩阵，主对角线均为 1 ，其他均为 0 的矩阵，记为 E 或者 I
• 对角矩阵，主对角线上都是常数，其他的都是零
• 三角矩阵，分上三角矩阵和下三角矩阵
• 对称矩阵， AT=A
• 反对矩阵， AT=−A
• 正交矩阵， A 为方阵，且 ATA=AAT=E
• 可交换矩阵，设 A 和 B 是同阶矩阵，且 AB=BA

矩阵的乘法不满足交换律，两个矩阵乘为零矩阵也不能说明其中一个是零矩阵。

方阵的行列式

只有方阵才有行列式的概念，记方阵 A 的行列式为 |A| 或者 det(A) ，有下面的性质：

• |AT|=|A|
  
  • 即转置不改变行列式的值
• |kA|=kn|A|
  
  • 矩阵中的系数 k 和行列式中的某行（列）的系数不一样，注意区分。
• |AB|=|A||B|
  
  • 这个证明很麻烦，要从定义入手。
  • 矩阵加法的行列式不能拆分，只有矩阵乘法满足。

2.2 逆矩阵和伴随矩阵

逆矩阵

对于 n 阶方阵 A,B ，若满足 AB=BA=E ，那么两个矩阵可以互称作是逆矩阵，记作 A−1=B

逆矩阵有下面的一些性质：

• 若 A 可逆，则其可逆矩阵唯一。
• 若 A 可逆，则 AT 和 A−1 也可逆。 (AT)−1=(A−1)T 且 (A−1)−1=A
• 若 A 可逆，且 k≠0 ，则 (kA−1)=1kA−1
• 若 A 可逆，则