至善迎风
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线性代数 第四章 线性方程组

一、矩阵形式

Ax=b,Ax=0

经过初等行变换化为阶梯形矩阵。当r(A)=r(\bar{A})，有解；当r(A)< n，有非零解。

Ax=b有解，等价于

  • \beta可由\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性表示
  • r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)=r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,\beta )

克拉默法则：非齐次线性方程组中，系数行列式\left | A \right |\neq 0，则方程组有唯一解，且唯一解为x_i=\frac{\left | A_i \right |}{\left | A \right |},i=1,2,...,n.

其中\left | A_i \right |是\left | A \right |中第i列元素（即x_i的系数）替换成方程组右端的常数项b_1,b_2,...b_n所构成的行列式。

二、向量形式

x_1\alpha _1+x_2\alpha _2+...+x_n\alpha _n=\beta方程组有解等价于\beta可由\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n表出；

x_1\alpha _1+x_2\alpha _2+...+x_n\alpha _n=0方程组有非零解等价于\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性相关。

三、齐次线性方程组

若A是m\times n矩阵，r(A)=r<n，则齐次线性方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系有n-r个线性无关解向量组成。也就是说，基础解系向量个数+r(A)=n（未知量个数）。

四、非齐次线性方程组

Ax=b有解条件

（1）A_{m\times n}x=b无解，等价于

  • b不能由A的列向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性表出
  • r(A)\neq r(A\mid b),(r(A)+1= r(A\mid b))

（2）A_{m\times n}x=b有解，等价于

  • b可由A的列向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性表出
  • r(A)=r(A\mid b)，即r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)=r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,b)
  • (\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)\cong (\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,b)

若r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)=r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,b)=n\Leftrightarrow\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性无关，\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,b线性相关\Leftrightarrowb可由\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性表出，且表出法唯一\Leftrightarrow Ax=b有唯一解。

若r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)=r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,b)<n\Leftrightarrow\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性无关，\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n,b线性相关\Leftrightarrowb可由\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性表出，且表出法不唯一\Leftrightarrow Ax=b有无穷多解。

五、解的性质

若\alpha _1,\alpha _2是Ax=b的解，则\alpha _1-\alpha _2是Ax=0的解；

若\eta _1,\eta _2是Ax=0的解，则k_1\eta _1+k_2\eta _2是Ax=0的解；

若\alpha是Ax=b的解，\eta是Ax=0的解，则\alpha +\eta是Ax=b的解。

六、解的结构

特解，通解，自由变量。

如果有方程组就加减消元、讨论参数，求解；

如果没有方程组就大概需求秩，用解的结构来分析推理来求解。

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