5分钟理解外积计算多边形面积

在矢量结构下，面状物体用其轮廓线构成的多边形表示，对于简单多边形，设有n个顶点，面积计算公式为：

面积计算公式

公式如何得来的呢？

此公式涉及数学中的外积，外积即叉乘：

• "a×b" 在二维空间中表现为下述公式中一个数值，数值上等于以a,b为边的平行四边形面积：
  外积公式

• "a×b" 在三维空间中表现是一个矢量，且与a，b所在面垂直，且有坐标计算公式：
  外积矢量坐标

为了便于记忆，一般写为行列式形式，注意不是行列式，只是形式便于记忆：

记忆形式

外积坐标下x,y,z的计算根据上边的形式可以记忆为 除去轴所在行列，进行交叉相乘，即

坐标公式

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    根据上述背景，我们结合二三维上的表现，可以看出两个边所构成的平行四边形面积数值上等于外积矢量的长度即|z |
那么我们在以一个多边形，举例即可得到面积计算公式，如图：

多边形1234

    ▱1234以逆时针排序号，以右手系为基准，那么逆时针方向三角形面积为正。
    我们将每个顶点与原点相连，得到含原点的4个三角形，∆012，∆023，∆034，∆041每个三角形面积有统一求法，例如∆012由01，02两个矢量边构成，那么三角形面积等于其组成的平行四边形面积的一半所以有关系：

三角012面积

                                           *换句话说 三角形面积等于外积矢量长度的一半

其他三角形同理。

又因为逆时针为正，顺时针为负，可以由几何关系可以得到▱1234的面积等于

▱1234面积

 综上我们可以得出以右手系为基准的多边形计算公式： 

多边形面积公式

说明：其中

为外积矢量的长度；第N个点即第1个点