积分中轮换对称性的本质

        不管是二重积分还是三重积分，亦或是曲线曲面积分，都可以使用到轮换对称性。

        其定义为：将x,y两个字母互换，得出的积分区域表达式不变（关于x = y对称），那么两个积分就是相等的。

        其实就算上述的积分区域变换了，即表达式变化了，比如从x< = y，变成了y<=x,结论也是成立的。因为“积分值和用哪个字母积分是没有关系的。”

        这就是很多人疑惑的地方，因为他们误认为只能是互换之后积分区域不变，两个积分此时相同的，其实轮换对称性只是上述情况的特殊情况，即x,y互换后，下面的积分区域是不变的。而之所以会将这种特殊情况专门起一个名字，是因为“底下面积相同”，则两个相同的积分的不同积分函数可以进行加减运算。

        当遇到一个积分不好运算的时候，如果轮换对称后，积分区域表达式未变，则可以将两个积分值相等式子进行相加，积分值变为两倍，从而可能使得积分函数变的好积分而得到结果。

        所以不论哪个积分将x,y进行轮换，其积分值是不变的，但这样没有什么意义，因为只是互换了字母而已，积分的难度并没有降低。但如果出现积分区域不变的情况，那么就可以积分值不变的这一性质进行加减，从而减轻积分的负担。

三元的轮换对称性可以只交换两个元素x,y，而且交换的时候，不仅积分区域的字母需要交换，被积函数的字母一样要交换。