周期函数基本性质

周期性

• 设$f(x+t_0)=f(x),\forall x$,则$f(x)$是以$t_0$为周期的周期函数
  • Note:若仅存在某个(有限个)$x_0$使得$f(x_0+t_0)=f(x_0)$不能认为$f(x)$是周期函数(例如二次函数)

性质

• 设$f(x)$是以$T$为周期的周期函数,定义域为$D_f$,即$\forall x\in D_f$,$f(x+T)=f(x)$(0)
• 这里$x$也可以是表达式$\varphi (x)\in D_f$,即$f(\varphi (x)+T)=f(\varphi (x))$,(0-1)

周期的整数倍仍然是周期

• 若(0)成立,则$f(x+n\times T)=f(x)$,$n\in \mathbb{Z}$(1)

  • 令$t_i=x+i\times T$,则$t_i=t_{i-1}+T$,$i=1,2,\cdots ,n$
    • 由$f(x+T)=f(x)$可知,$f(t_i)=f(t_{i-1})$
    • 由归纳原理,$f(t_n)=f(t_{n-1})=\cdots =f(t_1)=f(t_0)$
    • 而$t_n=x+nT$,$T=x$;所以$f(x+nT)=f(x)$

周期函数伸缩变换后的周期

• 若(0)成立,则$g(x)=f(ax+b)$,$(a\ne 0)$以$T^{\prime }=\frac{T}{|a|}$(2)为周期

  • 设$g(x)$的周期为$T^{\prime }$,根据周期函数的定义,$g(x+T^{\prime })$=$g(x)$(3)

    • 即$f(a(x+T^{\prime })+b)=f(ax+b)$

  • 从验证的角度说明(2)式为$g(x)$的周期

    • $f(ax+a{T}^{\prime }+b)$=$f(ax+a\frac{T}{|a|}+b)$
      • 不妨设$a>0$,则$f(ax+a\frac{T}{|a|}+b)$=$f(ax+T+b)$
        • 再由式(0),$f((ax+b)+T)$=$f(ax+b)$=$g(x)$
        • 可见式(3)成立
      • 若$a<0$,则$f(ax-a\frac{T}{a}+b)$=$f(ax-T+b)$
        • 由式(1),$f(ax+b-T)$=$f(ax+b)$=$g(x)$
        • 所以式(3)成立
      • 这就证明了(3)总是成立的

从伸缩变换的角度

• 由于$f(ax+b)$=$f(a(x+\frac{b}{a}))$相当于$f(x)$图像平移$\frac{b}{a}$个单位后横坐标变为原来的$\frac{1}{a}$倍
  • 周期取正,所以$T^{\prime }=\frac{1}{|a|}T$

从周期函数的定义推导

• 记$u(x)=ax+b$ ;$g(x)=f(u(x))$=$f(ax+b)$,$g(x)$的周期设为$T^{\prime }$

• 则$g(x+T^{\prime })=g(x)$,即$f(a(x+T^{\prime })+b)$=$f(ax+b)$

• $f(a(x+T^{\prime })+b)$=$f(ax+a{T}^{\prime }+b)$=$f(ax+b+a{T}^{\prime })$,由式(0),$f(ax+b+a{T}^{\prime })=f(ax+b)$

• 再由式(0),(1),若$T$是$f(x)$的最小正周期,则$a{T}^{\prime }$是$T$的整数倍,$a{T}^{\prime }=nT$,$k\in \mathbb{Z}$,从而$T^{\prime }=\frac{nT}{a}$,取最小正周期,即$|\frac{Tn}{a}|$取最小值,则$|n|=1$,所以$T^{\prime }=\frac{T}{|a|}$

• Note:上述结论在三角函数上用的很多,例如

  • $\sin \omega x$的周期是$\sin x$周期$t_0=2\pi$的$\frac{1}{|\omega |}$倍:即$\frac{2\pi }{|\omega |}$;
  • $sin(3x)$的周期为$\frac{2\pi }{3}$

周期函数的倒数仍为同周期函数

• 设$f(x+T)=f(x)$,$h(x)=\frac{1}{f(x)}$,则$f(x),h(x)$都是以T为周期的周期函数

  • 由周期函数定义容易证明:$h(x+T)=\frac{1}{f(x+T)}$=$\frac{1}{f(x)}$=$h(x)$,可见$\frac{1}{f(x)}$和$f(x)$都是以$T$为周期的函数

• 例如,$\sin x,\frac{1}{\sin x}=\csc x$都是周期为$2\pi$的函数

常见周期函数

• 周期为$2\pi$的周期函数,$\sin x$,$\cos x$,及其倒数函数$\csc x,\sec x$
• 周期为$\pi$的函数;$\tan x$,$|\sin x|$,$|\cos x|$
  • 例如$|\sin (x+\pi )|=|-\sin x|$=$|\sin x|$,可见$|\sin x|$是周期为$\pi$的函数

周期函数间的组合@周期函数的运算性质

周期函数之和

• $f(x+T)=f(x)$,$g(x+T)=g(x)$,则$h(x)=f(x)\pm g(x)$满足$h(x+T)=h(x)$

  • 因为:$h(x+T)=f(x+T)\pm g(x+T)=f(x)\pm g(x)=h(x)$
  • 即,周期同为$T$的两个函数的和函数或差函数仍然是周期为$T$的周期函数

• $f(x+T_1)=f(x)$,$g(x+T_2)=g(x)$则$h(x)=f(x)\pm g(x)$满足$h(x+T^{\prime })=h(x)$,其中$T^{\prime }=lcm(T_1,T_2)$

  • 周期分别为$T_1,T_2$的两个周期函数之和函数或差函数是周期为$T^{\prime }$($T_1,T_2$的最小公倍数)

    • 由周期的整数倍仍然是周期这一性质可知,$T^{\prime }$显然既是$f(x)$的周期,又是$g(x)$的周期

  • 明白这一点很重要,在傅里叶级数中,会用到这一点

  • 更一般的,记具有不同周期的周期函数$t_i(x)$的和函数$s(x)=\sum _{i=1}^n{t}_i(x)$

  • $f(x+t_0)=f(x)$;$g(x+t_1)=g(x)$

  • 记$h(x)=f(x)+g(x)$;$lcm(t_0,t_1)=k_0{t}_0=k_1{t}_1$

    • 记存在最小正周期的周期函数$f_i(x)$,满足$f_i(x+t_i)=f_i(x)$
    • 记函数集合$f_1,\cdots ,f_n$,它们分别是周期为$t_1,\cdots ,t_n$的周期函数
    • 存在$n$个整数$k_1,\cdots ,k_n$,使得$(k_i⩾1)$,则$t_1,\cdots ,t_n$的最小公倍数为$L=lcm(t_1,\cdots ,t_n)=k_i{t}_i,(i=1,2,3,...)$;(1)
    • $L$是尽可能的小满足(1)的正数,则$L$就是$t_1,\cdots ,t_n$的最小公倍数
    • 显然,$f_i(x+L)=f_i(x)$
      • 若$s(x)$=$\sum _{i=1}^n{f}_i(x)$,则$s(x+L)$=$\sum _{i=1}^n{f}_i(x+L)$=$\sum _{i=1}^n{f}_i(x)$=$s(x)$

• $f(x+T)=f(x)$,则$y(x)=f(x)+c$满足$y(x+T)=y(x)$

  • $y(x)=f(x)+c$;$y(x+t)=f(x+t)+c=f(x)+c$

  • 可见,$y(x+t)=y(x)$,

  • 一般地,周期函数$f(x)$加上一个常数得到的新函数的周期和$f(x)$的周期一致

• $f(x+T)=f(x)$,则$y(x)=kf(x)$,($k$为常数),满足$y(x+T)=y(x)$

  • $y(x)=kf(x)$;$y(x+T)=kf(x+T)=kf(x)$
  • 可见,周期函数$f(x)$乘以常数$k$后仍然是一个周期为$T$的函数

• $f(x+T)=f(x)$,$y(x)=kf(x)+c$满足$y(x+T)=y(x)$

周期函数之积

• $f(x+T_1)=f(x)$,$g(x+T_2)=g(x)$,则$h(x)=f(x)g(x)$的周期为$T^{\prime }=lcm(T_1,T_2)$
  • 和周期函数之和类似
  • $h(x+T^{\prime })$=$f(x+T^{\prime })g(x+T^{\prime })$=$f(x)g(x)$=$h(x)$,因此结论成立

例

• ${\sin }^{2}x$=$\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$,其周期为$\cos 2x$的周期,即$\pi$

• 类似的,${\sin }^{4}x$=$\frac{1}{4}(1-\cos 2x{)}^2$=$\frac{1}{4}(1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x)$

  • $\cos 2x$周期为$\pi$
  • ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{2}(1+\cos 4x)$,其周期为$\frac{\pi }{2}$
  • 因此,由周期函数和性质,${\sin }^{4}x$的周期为$\pi$

• $\sqrt{{\sin }^{2}x}$=$|\sin x|$周期为$\pi$

• $$\begin{gathered} 设s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx)) \\ 对于\cos nx,\sin nx,n=1,2,\cdots \\ 这些函数的周期分别是\{\frac{2\pi }{n}\}=\frac{2\pi }{1},\frac{2\pi }{2},\frac{2\pi }{3},... \\ 事实上,\frac{2\pi }{(\frac{2\pi }{n})}=n,而n=1,2,3,... \\ s(x)的各个周期函数的周期的最小公倍数为2\pi \\ 因此:s(x+2\pi )=s(x) \end{gathered}$$