高等数学复习之二重积分

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备考概率论遇到了二维连续型随机变量概率问题，对于其中的原理怎么也不是很理解，看到书上讲到了二重积分，就从二重积分开始再复习下吧！也作为高等数学的备考内容来准备着。

1、为什么说定积分积分范围是直线的？

这个可以从定积分印象得到，脑补的情形就是一条曲线在X轴投影的某个区间的面积。正是因为“区间”，可以应用到概率的随机变量上，因为随机变量的定义就是 <= 某点的所有情况的概率。

2、为什么定积分的值就是落在这个区间的概率值呢？

没必要心怀疑惑，前提还是前提，大学里为啥没学好高数呢？就是因为心中的疑惑，没有得到及时的解决。高数真的难吗？为啥学不会呢？还不是往往对结论怀疑吗，只看到结果没看条件。其实也变相说明了世间的一个真理 “任何事都不要太较真，不必纠结于一方面，静下心来思考，仿佛冥冥之中如有神助”。连续型随机变量也是一样的。它的分布函数符合 (-∞) 到 x 上所有点，并且，所有点符合关于x一个函数f(x)的趋势。也就是其定义：

3、知道了上面这些，引入二重积分概念就比较简单了，什么是二重积分呢？

定义的脑补几何是一个曲顶柱体，简单来说就是以有界区域D（其实是曲面f(x,y)在xoy这个面上的投影）为底，以曲面f(x,y)为顶，这个曲面柱体的体积。求法如下：

其思想和定积分的思想是一样的。f(ξ,η)其实是作为分割小区域上Δσ（西格马）上一点，因为这些小区域被分割的很小，曲顶的高度变化很小，所以就可以近似当成是一个平顶柱体来看所以就可以把f(ξ,η)作为高的。其实也很好理解，当小区域无限小，趋于0时，就是演变成了一个个的点柱的体积，这些点柱的体积和就是这个曲顶柱体的体积精确值。

由于最后取分割小区域面积的极限，所以与分割方式与取点方式无关。那么Δσ也可以表示为矩形的面积Δσ=ΔxΔy形式。也就是由原来的点柱，变成矩形柱，脑补图如下：

4、关于可不可积的问题？

若由现实中的问题应用二重积分，只要保证f(x,y)在有界区域D上连续，就可以得到f(x,y)是可积的。连续是可积的充分条件。也就是可积不一定推出连续，只能得到在这个区域上连续。

不可积的情形，就是不连续的情形。这里f(x,y)要当作纯函数来理解。

5、计算二重积分方法有哪些？

理解了二重积分的定义，对于概率论中有关多维随机变量的解法就知道了大半，与定积分一样，为什么多维随机变量会对应到二重积分，前提就随机变量符合二元函数的变化。再掌握下二重积分的计算。基本概率论的题应该就差不多了，但作为高数备考，还得了解二重积分的性质，详见扩展吧！

学高数，还在于会计算。思想是可以通用的如极限，可以用到程序，用到其他。但计算方法正是数学特有的。正如解二重积分，当遇到函数已知，如何分割区域D就成为求解的路径了。这其实也是将求曲顶柱体这种求立体体积的问题，转成了二维面积问题，实现了简化和降维。

直角坐标系下计算二重积分：（计算方法是二次积分，化成依次进行的两个定积分，根据什么化呢？有特定的形式）

解法的步骤：

1、先找到区域D在x轴或y轴的投影区间

2、找到上边界曲线写成y=f（x)左边界曲线写成或x=f（y)的形式。记忆为：对哪个轴投影，就将此轴上的变量写成函数形式，如对x轴投影就写成f(x)作为另一个轴的双边(何为双边？就是曲线的左右或上下边界)不等式一边。同时，先求以f(x)为界的定积分，以把f(x)当作常数来代入，以f(x)为界的定积分是以y作为变量的积分，即所谓的先对y求积分，将y=f(x)代入后，会得到一个关于x的的函数，剩下就是关于x的一个定积分，再求x的定积分，就得到整个二重积分的结果。简单来说，就是“对哪个轴投影，决定了f(x)还是f(y),进而决定先对x还是先对y积分”。

3、同理，找到下边界或右边界曲线。得出双边不等式，这一步是解题的关键。

4、然后，按照先内后外的形式依次求解定积分。

掌握这些，应付考试基本够用了。有空还得复习下定积分的内容。

6、如何确定先x后y,还是先y后x呢？也就是积分次序？两个原则：

1、积分区域的分块尽可能少

2、被积函数尽可能容易积分

扩展：二重积分的性质

二重对称奇偶性：

何为奇函数，何为偶函数呢？

利用奇偶性可以简化二重积分的计算。

利用几何意义分析二重积分奇偶性：

当f(x,y)>=0时，在区域D上的二重积分代表曲顶柱体的体积，当f(x,y)<=0等于曲顶柱体体积的相反数。

假设f(x,y)是关于x的奇函数，故曲面z=f(x,y)关于y轴所在直线对称。再假设积分区域D关于Y轴对称，则y轴把D分成“相等”的两部分，分别对这两个小区域上对f(xy)积分，由于左右全等，故结果互为相反数，再根据对积分区域可加性，所以结果为0。如下图所示：

注意：只有积分区域对称性和被积函数奇偶性同时满足时，结论才成立。

极坐标系下二重积分计算:

极坐标的概念：

平面点的极坐标表示，实质就是已经夹角θ和距离r的情况下确定平面点的坐标，如下图：

为什么夹角θ的取值范围是【0，2π】？？？？

这其实还是”前提“，r半径,要是绕着哪一点转,θ就是从这一点出发的仰角。这里的前提就是半径r是绕着原点转的。所以在标准情况下x^2+y2=R^2,0≤r≤R，所以角度就是0到2π，转一圈，可以这么理解，因为圆的周长是2πr,如下图：

极坐标下计算二重积分？

思想是一样的，也是将区域分割成小区域，然后求和，取极限。两个扇形面积的差，可以表示出划分后的小区域，但取无限细分的区域是没必要这么麻烦的，所以直接近似的算小矩形的面积就可以，如下图：

小矩形的面积如何求呢？

近似的可以看出是蓝色区域的下弧长 X 半径差Δr，如下图所示：注：这里需要了解的是弧长的计算公式     l = n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180=     α  (圆心角弧度数)× r（半径）这里的 π/180=0.0174，是个很小的数，用 α表示。根据实际情况，这里省略了。

到这里可以得出面积微元Δσ=r  . dr . dθ,与上面小矩形面积公式是一一对应的。根据平面坐标系下二重积分的公式：x用极坐下r cosθ代替,y用极坐标下r sinθ代替，得到极坐标下二重积分的表示。

可以看到f(rcosθ,rsinθ)r，都是关于r θ,一个函数，记为g(r,θ),这里就可以看作是直角坐标系下的二重积分，从而完成了抽象建模的过程，剩下就是按照二重积分的解法，求解就可以了

根据图形，找出关于r θ,的双边不等式，就可以求解，如下图：

1、先找出关于 θ的双边不等式，就是看要分解的区域是夹在哪两个射线之间的。如上图：=<θ<=

2、找出两个射线间的内边界曲线，再找到外边界曲线，就可以确定两个射线间任意角度 θ，那么就可以确定边界函数。如上图1(θ)=

3、转成二次积分的形式：注意，转成f(r cosθ,r sinθ)后面还有一个r

什么情况下用极坐标形式解二重积分呢？

1、双边曲线是一个圆弧或圆盘等形式。

2、被积函数x^2+yx或y/x的形式（也就是直角坐标系转成极坐标关系）。

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