流体力学第四章：理想流体动力学

第四章：理想流体动力学

简介：理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性（分子的上下振动、热传导）
,则

一、理想流体运动的基本方程和初边值条件

1. 理想流体运动的基本方程——Euler方程

   
   
   Euler方程
   
   

   该方程有六个未知量，需要补充方程。

2. 理想流体能量方程的讨论
   
   能量方程
   
   
   动能方程1
   
   
   动能方程2
   
   其中焓。
   理想、常比热、完全气体、绝热运动时，沿流体质点的迹线熵不变。
   能量方程。
3. 常用理想流体动力学微分型封闭方程组

• 重力场中，理想常比热完全气体绝热连续流动
• 重力场中，理想匀质不可压缩流体的运动

4. 理想流体运动的初边值条件

• 初始条件：对非定常流动的

• 边界条件：
  边界条件

二、理想流体在势力场中运动的主要性质

1. Kelvin定理（沿封闭流体线的环量不变定理）
   理想、正压流体、在势力场中运动时，连续流场内沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间变化。
2. Lagrange定理（涡量不生不灭定理）
   理想、正压流体、在势力场中运动时，若某一时刻连续流场无旋，则流场始终无旋。
   理想、正压流体、在势力场中运动时，若某一时刻连续流场有旋，则流场始终有旋。
   推论：在满足Kelvin 定理的条件下，均匀来流绕过任一物体的流场为无旋流场；由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场。
3. Helmholtz定理（涡线及涡管保持定理）
   理想、正压流体、在势力场中运动时，组成涡线（面）的流体 质点永远组成此涡线（面），即涡线（面）是流体线（面）。
   理想、正压流体、在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永 远组成此涡管，且涡管强度不随时间变化。
4. 涡量产生或消失的条件
   只要不满足 Kelvin 定理（理想、正压流体、质量力有势、流场连续）的任何一个条件，旋涡都会产生或消失。
   （1）流体的粘性（非理想流体）
   （2）存在间断（非连续流场）
   （3）非正压流场
   （4）非有势力场
   如：Kelvin-Helmholtz不稳定性

三、兰姆型方程和理想流体运动的几个积分

1. Lamb 型方程
   
   Lamb型方程
   
   其中称为Lamb矢量。

2. 伯努利积分
   理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿流线/涡线有

   
   
   伯努利积分

3. 伯努利积分总结
   共同条件：理想流体+流动定常+质量力有势。

   
   
   伯努利积分
4. Cauchy-Lagrange积分
   理想、正压流体、在势力场中作无旋流动时，全流场成立
   
5. 动参考系中的 Cauchy-Lagrange 积分

四、理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质

1. 不可压缩流体无旋流动问题的数学提法
   基本方程：
   边界条件：

• 界面条件——
• 无穷远条件——

2. 理想、不可压缩流体、在势力场中作无旋流动问题的求解思路

• 由运动学条件求
• 由 C-L 积分求

3. 不可压缩无旋流动问题中速度势的主要性质
   （1）连通域、单连通域、多连通域、隔面
   （2）无旋流动速度势的主要性质

• 速度势
• 在单连域中速度势是单值的，故单连域中的无旋流动不可能存在封闭的流线。
• 双连域的无旋流场中，任意不可缩周线上的速度环量相 等（绕封闭周线一周），速度势多值。
  （3）理想不可压无旋流动速度场解的唯一性定理
  动能表达式：
• 有界单连域中解的唯一性条件
  在边界上给定或在边界上给定
• 有界双连域中解的唯一性条件
• 无界单连域中解的唯一性条件
• 无界双连域中解的唯一性条件

4. 不可压无旋流场的主要特性

• 速度势函数不能在域内有极大或极小值
• 速度矢量的模不能在域内达到极大值
• 重力场中，理想均质不可压缩无旋流场内压强不能在域内达到极小值

五、理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法

1. 不可压无旋流动速度势的基本解

• 均匀流场：全场速度是常数的流场。
  
• 点源：若在流场某一点不断有流体注入流场，其体积流量为，则这种流场称为点源流场，称为点源强度。
  
• 偶极子：强度相等、符号相反的两点源，若它们无限靠近时有这两个点源所构成的流场称为偶极子流场。记为，其中称为偶极子强度，偶极子方向为由点汇指向点源。
  
  

2. 奇点叠加法
   例：绕圆球不可压无旋流动的速度和压力分布

六、不可压缩流体二维流动的流函数及其性质

平行平面流动：流体质点在平行平面上运动， 并且每一平面上流动都相同。

1. 流函数的定义
   
   直角坐标系下：
   其中
   即：
2. 流函数的性质

• 流函数可以差一个任意常数而不影响速度场；
• 流函数的等值线就是流线；
• 通过平面上任意曲线的体积流量等于点和点的流函数值之差，即：
• 不可压缩流体平面无旋流动中，流函数的等值线与等势线正交；
• 若流场中不存在源和汇，则在单连域中，流函数是单值的；在双连域中档通过内边界的总流量不等于零时，流函数是多值的，但速度是连续单值的。

3. 不可压流体平面无旋流动的流函数方程及定解条件

• 方程：
• 来流条件：
• 静止物面的不可穿透条件：
• 环量条件：

4. 流函数表示的基本解及叠加法

• 均匀流的流函数表达式
• 点源解的流函数表达式
• 偶极子的流函数表达式

七、理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法

1. 复势
   以速度势为实部、流函数为虚部组成的复函数称为复势。
   
2. 复势为解析函数
   速度势和流函数为调和函数，并满足Cauchy-Riemann条件
3. 解析函数主要性质

• 解析函数的方向导数与求导方向无关；
• 解析函数的和、导数、积分是解析函数；
• 在全平面处处解析的函数为常数；
• 在有限域中（不包括的点），解析函数的一般展开式为：

2. 复速度
   以平面不可压无旋流动的速度分量组成的复函数称为复速度。
   复速度与复势：
3. 不可压缩流体平面无旋绕流问题的复势提法
   现有周界为的平面物体，无穷远处有一速度为 的理想均质不可压流体绕流此 物体 ，求速度场。
   
   image.png
4. 基本流动

• 均匀流
• 平面点源
  推导：
• 平面点涡
  点涡强度为速度的环量，为常值。
• 平面偶极子

5. 圆柱的无环量绕流
6. 圆柱的有环量绕流
7. 平壁面镜像法和圆定理简介

• 平壁面镜像法

8. 解平面不可压缩无旋绕流问题的保角映射法