【算法优选】前缀和专题——叁
文章目录
- 前言
- [和为K的子数组](https://leetcode.cn/problems/subarray-sum-equals-k/description/)
-
- 题目描述
- 思路解析
- 代码实现
- [和可被 K 整除的子数组](https://leetcode.cn/problems/subarray-sums-divisible-by-k/)
-
- 题目描述
- 解题须知：
- 算法思路：
- 代码实现
- [连续数组](https://leetcode.cn/problems/contiguous-array/submissions/)
-
- 题目描述
- 思路解析
- 代码实现
- [矩阵区域和](https://leetcode.cn/problems/matrix-block-sum/)
-
- 题目描述
- 思路解析
- 代码实现
- ⭕总结
前言
含义：
- 前缀和实际上就是对于长度为n的数组，我们新建立一个数组长度为n+1，第i个元素的值为前i个元素的和（包括第i个元素）。
特点：
- 前缀和数组比原数组多一个长度。
- 前缀和的第0个元素的值为0。
- 根据前缀和数组的特点，求前缀和时。我们只需要用第i个元素的值+第i-1个前缀个数组的值就可能得到第i个前缀和数组的值。（这也是一种动态规划的思想）。
应用：
- 前缀和算法可以解决一些在数组中与连续有关的问题
和为K的子数组
题目描述
给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。
子数组是数组中元素的连续非空序列。
-
示例 1：
输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2 -
示例 2：
输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2
class Solution {
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
}
}
思路解析
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2,x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k 。
那么 [0, x] 区间内的和是不是就是sum[i] - k 了。于是问题就变成：
- 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。
我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数
代码实现
class Solution {
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
hash.put(0, 1);
int sum = 0;
int ret = 0;
for(int x : nums)
{
sum += x; // 计算当前位置的前缀和
ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0); // 统计结果
hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1); // 把当前的前缀和丢到哈希表⾥⾯
}
return ret;
}
}
和可被 K 整除的子数组
题目描述
给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的（连续、非空） 子数组 的数目。
子数组 是数组的 连续 部分。
-
示例 1：
输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3] -
示例 2:
输入: nums = [5], k = 9
输出: 0
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
}
}
解题须知：
- 同余定理
如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n = = b % n 。
⽤⽂字叙述就是，如果两个数相减的差能被n整除，那么这两个数对n取模的结果相同。
- Java中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果
Java中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。
例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。
例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2
算法思路：
思路与和为K的⼦数组这道题的思路相似
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。
-
想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1,x2, x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
-
设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0 。
-
由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：
-
- 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。
我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数。
代码实现
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
hash.put(0 % k, 1);
int sum = 0;
int ret = 0;
for(int x : nums)
{
sum += x; // 计算当前位置的前缀和
int r = (sum % k + k) % k;
ret += hash.getOrDefault(r, 0); // 统计结果
hash.put(r, hash.getOrDefault(r, 0) + 1);
}
return ret;
}
}
连续数组
题目描述
给定一个二进制数组 nums , 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。
-
示例 1:
输入: nums = [0,1]
输出: 2
说明: [0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。 -
示例 2:
输入: nums = [0,1,0]
输出: 2
说明: [0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。
class Solution {
public int findMaxLength(int[] nums) {
}
}
思路解析
稍微转化⼀下题⽬，就会变成我们熟悉的题：
-
本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同。
-
如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0 。
-
于是，就和560.和为K的⼦数组这道题的思路⼀样
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i] 区间内的所有元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 sum[i] 了。于是问题就变成：
- 找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum[i] 的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。
代码实现
class Solution {
public int findMaxLength(int[] nums) {
Map<Integer,Integer> hashmap = new HashMap<>();
hashmap.put(0,-1);
int sum = 0;
int ret = 0;
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
sum += (nums[i] == 0 ? -1 : 1);
if(hashmap.containsKey(sum)) {
ret = Math.max(ret,i - hashmap.get(sum));
} else {
hashmap.put(sum,i);
}
}
return ret;
}
}
矩阵区域和
题目描述
给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：
i - k <= r <= i + k, j - k <= c <= j + k 且(r, c) 在矩阵内。
-
示例 1：
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]] -
示例 2：
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]
class Solution {
public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
}
}
思路解析
⼆维前缀和的简单应⽤题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上⻆」以及「右下⻆」的坐标（推荐⼤家画图）
关于二维前缀和的求法，不懂得宝子可以去看看博主写的《【算法优选】 前缀和专题——壹》进行查看学习
左上⻆坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 0 取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;
右下⻆坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 m- 1 ，以及 n - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 = min(m - 1, i + k),
y2 = min(n - 1, j + k)
然后将求出来的坐标代⼊到「⼆维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）
代码实现
class Solution {
public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
int m = mat.length, n = mat[0].length;
// 1. 预处理前缀和矩阵
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for(int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
}
}
// 2. 使⽤
int[][] ret = new int[m][n];
for(int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
int x1 = Math.max(0, i - k) + 1;
int y1 = Math.max(0, j - k) + 1;
int x2 = Math.min(m - 1, i + k) + 1;
int y2 = Math.min(n - 1, j + k) + 1;
ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
}
return ret;
}
}
⭕总结
关于《【算法优选】 前缀和专题——叁》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！