Educational Codeforces Round 118 div.2 A-E题解

视频讲解:咕了 ,推荐看wls的视频题解 。

A. Long Comparison

题目大意

有两个数,它们都用同一种格式表示:一个正整数 x ( 1 ≤ x ≤ 1 0 6 ) x(1 \leq x \leq 10^6) x(1x106) ,后面附加 p ( 0 ≤ p ≤ 1 0 6 ) p(0 \leq p \leq 10^6) p(0p106) 0 0 0
现在给定两个数,求他们的大小比较关系。

题解

由于 1 ≤ x ≤ 1 0 6 1 \leq x \leq 10^6 1x106 ,因此若 p p p 相差超过 6 6 6 ,则直接比较 p p p 的大小。反之在 p 1 , p 2 p1,p2 p1,p2 都减去 min ⁡ ( p 1 , p 2 ) \min(p1,p2) min(p1,p2) 后,还原处原数进行比较。

参考代码

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;

int main()
{
	int T;
	ll x1,x2,p1,p2;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&x1,&p1,&x2,&p2);
		if(p1+6<p2)
			puts("<");
		else if(p1>p2+6)
			puts(">");
		else
		{
			x1*=pow(10,max(0ll,p1-p2));
			x2*=pow(10,max(0ll,p2-p1));
			if(x1>x2)
				puts(">");
			else if(x1==x2)
				puts("=");
			else
				puts("<");
		}
	}
}

B. Absent Remainder

题目大意

给定长度为 n ( 2 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 ) n(2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5) n(2n2105) 的互不相同的正整数序列 a 1 , a 2 , . . . , a n ( 1 ≤ a i ≤ 1 0 6 ) a_1,a_2,...,a_n(1 \leq a_i \leq 10^6) a1,a2,...,an(1ai106) ,求 ⌊ n 2 ⌋ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor 2n 对不同的正整数 对 x , y x,y x,y ,满足以下条件:

  • x ≠ y x \neq y x=y
  • x x x y y y 都在 a a a 中出现;
  • x m o d    y x \mod y xmody 不在 a a a 中出现;

注意,某些 x x x y y y 可以属于不同对。
如果有多组解,输出任意一组即可。可以证明至少存在一个解。

题解

a a a 从小到大排序后,易得 a i m o d    a 1 < a 1 a_i \mod a_1aimoda1<a1 ,即不在 a a a 中出现。因此直接构造 ⌊ n 2 ⌋ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor 2n ( a i , a 1 ) (a_i,a_1) (ai,a1) 即可,注意 i > 1 i>1 i>1

参考代码

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;

const int MAXN=200200;
int a[MAXN];

int main()
{
	int T;
	int n,i;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		sort(a+1,a+n+1);
		for(i=2;i<=n/2+1;i++)
		{
			printf("%d %d\n",a[i],a[1]);
		}
	}
}

C. Poisoned Dagger

题目大意

Monocarp在玩一个电脑游戏。在游戏种,他的角色必须杀死一条龙。战斗会持续 10 0 500 100^{500} 100500 秒,期间Monocarp会用毒匕首攻击龙 n ( 1 ≤ n ≤ 100 ) n(1 \leq n \leq 100) n(1n100) 次。第 i i i 次攻击在战斗开始后第 a i ( 1 ≤ a i ≤ 1 0 9 , a i < a i + 1 ) a_i(1 \leq a_i \leq 10^9,a_iai(1ai109,ai<ai+1) 秒发生。毒匕首本身不会对龙造成伤害,但会对龙施加中毒效果,在接下来 k k k 秒内每秒造成 1 1 1 点伤害(从龙被匕首刺伤的同一秒开始)。如果龙已经中毒,则会刷新持续时间。

已知龙有 h ( 1 ≤ h ≤ 1 0 18 ) h(1 \leq h \leq 10^{18}) h(1h1018) 点生命,如果在战斗中队龙造成至少 h h h 点伤害,则会成功杀死这条龙。求杀死这条龙的情况下, k k k 的最小值。

题解

二分答案,对于每个答案以 O ( n ) O(n) O(n) 复杂度进行模拟。

参考代码

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;

const int MAXN=110;
ll n,h,a[MAXN];

bool check(ll x)
{
	ll last=h-x;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		last-=min(x,a[i]-a[i-1]);
	if(last<=0)
		return true;
	else
		return false;
}

int main()
{
	int T,i;
	ll lef,rig,mid;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&h);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		a[0]=a[1];
		lef=1,rig=h;
		while(lef<=rig)
		{
			mid=(lef+rig)>>1;
			if(check(mid))
				rig=mid-1;
			else
				lef=mid+1;
		}
		printf("%lld\n",lef);
	}
}

D. MEX Sequences

题目大意

如果一个整数序列 x 1 , x 2 , . . . , x k x_1,x_2,...,x_k x1,x2,...,xk 满足 ∀ i ( 1 ≤ i ≤ k ) \forall i(1 \leq i \leq k) i(1ik) ∣ x i − M E X ( x 1 , x 2 , . . . , x i ) ∣ ≤ 1 |x_i-MEX(x_1,x_2,...,x_i)| \leq 1 xiMEX(x1,x2,...,xi)1 ,则称其为MEX正确。其中 M E X ( x 1 , . . . , x k ) MEX(x_1,...,x_k) MEX(x1,...,xk) 表示不属于集合 x 1 , . . . , x k x_1,...,x_k x1,...,xk 的最小非负整数。

现在给定一个长度为 n ( 1 ≤ n ≤ 5 ⋅ 1 0 5 ) n(1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5) n(1n5105) 大小的非负整数序列 a a a ,求其非空MEX正确的子序列有多少个,答案对 998244353 998244353 998244353 取模。

题解

考虑合法子序列,只存在以下两种可能:

  1. 不下降序列,即 0...1...2...3...4... 0...1...2...3...4... 0...1...2...3...4...
  2. 前面是不下降序列,后面是在 x x x x + 2 x+2 x+2 间反复,即 0... x . . . ( x + 2 ) . . . x . . . ( x + 2 ) . . . 0...x...(x+2)...x...(x+2)... 0...x...(x+2)...x...(x+2)...

从左到右遍历序列,设

  • f x f_x fx 表示之前的序列中属于第一种情况的 M E X MEX MEX 值为 x x x 的子序列方案数;
  • g x g_x gx 表示之前的序列中属于第二种情况的 M E X MEX MEX 值为 x x x 的子序列方案数;

若当前遍历到 a i a_i ai ,则以 a i a_i ai 结尾的合法子序列对答案的贡献有以下几项:

  • M E X = a i + 1 MEX=a_i+1 MEX=ai+1 的贡献 f a i + f a i + 1 + g a i + 1 f_{a_i}+f_{a_i+1}+g_{a_i+1} fai+fai+1+gai+1
  • M E X = a i − 1 MEX=a_i-1 MEX=ai1 的贡献 f a i − 1 + g a i − 1 f_{a_i-1}+g_{a_i-1} fai1+gai1

添加以 a i a_i ai 结尾的子序列贡献后, f x , g x f_x,g_x fx,gx 有以下变化:

  • f a i + 1 + = f a i + 1 + f a i f_{a_i+1}+=f_{a_i+1}+f_{a_i} fai+1+=fai+1+fai
  • g a i + 1 + = g a i + 1 g_{a_i+1}+=g_{a_i+1} gai+1+=gai+1
  • g a i − 1 + = g a i − 1 + f a i − 1 g_{a_i-1}+=g_{a_i-1}+f_{a_i-1} gai1+=gai1+fai1

参考代码

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;

const int MAXN=500500;
const ll mod=998244353;
int a[MAXN];
ll f[MAXN],g[MAXN];

int main()
{
	int T,n,i;
	ll ans;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		memset(f,0,sizeof(ll)*(n+10));
		memset(g,0,sizeof(ll)*(n+10));
		f[0]=1;
		ans=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			ans+=f[a[i]]+f[a[i]+1]+g[a[i]+1];
			f[a[i]+1]=(f[a[i]+1]*2ll+f[a[i]])%mod;
			if(a[i])
			{
				ans+=g[a[i]-1]+f[a[i]-1]%mod;
				g[a[i]-1]=(g[a[i]-1]*2ll+f[a[i]-1])%mod;
			}
			ans%=mod;
			g[a[i]+1]=g[a[i]+1]*2ll%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

E. Crazy Robot

题目大意

有一个 n ∗ m    ( 1 ≤ n , m ≤ 1 0 6 , n ⋅ m ≤ 1 0 6 ) n*m \;(1 \leq n,m \leq 10^6,n \cdot m \leq 10^6) nm(1n,m106,nm106) 大小的网格,每个单元格是空的或被阻塞的。其中有个空的单元格内有一个实验室。超出网格边界的其他单元格都是被阻塞的。

有一个机器人从实验室中逃出,处于某个空的单元格中。你可以命令其向上下左右四个方向之一移动到相邻的单元格,但机器人不会听从指令,它会选择一个与命令方向不同的其他方向,且该方向上的单元格是空的。如果存在,则其会移动到那个方向,否则什么都不做。

现在希望机器人回到实验室。对于每个单元格,判断其能否被迫回到实验室。被迫是指,在机器人每一步后,都可以向其发送一个命令,无论机器人选择什么不同方向,最终都会回到实验室。

题解

对于一个格子来说,若其周围都是 ‘+’ 或 ‘L’ ,只有最多一个相邻格子是 ‘.’ ,则该格子也是 ‘+’ 。
当一个格子变为 ‘+’ 后,其周围格子也可能变成 ‘+’ 。
因此,采用BFS实现即可(不怕 1 0 6 10^6 106 爆栈也可以用dfs)。

参考代码

#include 
typedef long long ll;
#define mkp make_pair
#define pii pair<int,int>
using namespace std;

const int MAXN=1000100;
const int g[2][4]={{-1,1,0,0},{0,0,-1,1}};
char mz[MAXN];
queue<pii> q;

int main()
{
	int T,n,m,x,y,i,j,nx,ny,d;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(i=0;i<n;i++)
			for(j=0;j<m;j++)
			{
				scanf(" %c",&mz[i*m+j]);
				if(mz[i*m+j]=='L')
					q.push(mkp(i,j));
			}
		while(!q.empty())
		{
			pii now=q.front();
			q.pop();
			for(i=0;i<4;i++)
			{
				x=now.first+g[0][i];
				y=now.second+g[1][i];
				if(x>=0&&x<n&&y>=0&&y<m
					&&mz[x*m+y]=='.')
				{
					d=0;
					for(j=0;j<4;j++)
					{
						nx=x+g[0][j];
						ny=y+g[1][j];
						if(nx>=0&&nx<n&&ny>=0&&ny<m
							&&mz[nx*m+ny]=='.')
							d++;
					}
					if(d<=1)
					{
						mz[x*m+y]='+';
						q.push(mkp(x,y));
					}
				}
			}
		}
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			for(j=0;j<m;j++)
				printf("%c",mz[i*m+j]);
			puts("");
		}
	}
}

F. Tree Coloring

题目大意

给定一棵包含 n ( 2 ≤ n ≤ 250000 ) n(2 \leq n \leq 250000) n(2n250000) 个节点的有根树,编号从 1 1 1 n n n ,根节点为 1 1 1 号节点。

现在需要将所有节点染为 1 1 1 n n n n n n 种颜色,每种颜色恰好对应一个节点。设 c i c_i ci 为节点 i i i 的颜色, p i p_i pi 是节点 i i i 的父亲。如果不存在 k ( 1 < k ≤ n ) k(1 < k \leq n) k(1<kn) 满足 c k = c p k − 1 c_k=c_{p_k}-1 ck=cpk1 ,则称该染色方案为漂亮的。

求所有漂亮的染色方案数,答案对 998244353 998244353 998244353 取模。

题解

TBD

参考代码


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