【C++】递推&动态规划基础入门

斐波那契

递归式斐波那契函数

long long fib(long long k){
	if(k==1||k==2) return 1;
	return fib(k-1)+fib(k-2);
}

上述函数存在一定的问题，比如$fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2),fib(n-1)=fib(n-2)+fib(n-2)$，其中$fib(n-2)$被计算了两次，层层递归下去，在$n$很大时有大量重复计算，算法效率很低，可能导致递归爆栈。

记忆化优化递归式斐波那契函数

我们只需要记录计算过的函数项，就可以提高算法效率。

long long data[101];//可记录斐波那契1~100项的值 
long long fib(long long k){
	if(data[k]!=0) return data[k];//保存过函数值直接返回 
	if(k==1||k==2) data[k]=1;
	else data[k]=fib(k-1)+fib(k-2);
	return data[k];//返回上两行计算的函数值 
}

递推式斐波那契函数

我们可以去掉递归，直接使用数组计算斐波那契函数

long long fib[101];//可记录斐波那契1~100项的值 
long long init(){
//fib[k]记录的是斐波那契第k项,使用fib数组要先调用init初始化fib数组 
	fib[1]=fib[2]=1;
	for(int i=3;i<=100;i++) fib[i]=fib[i-1]+fib[i]; 
}

基础动态规划

爬楼梯

题目描述

树老师爬楼梯，有一楼梯共$n$级，若每次只能跨上一级或者二级，要走上$n$级，共有多少种不同走法？
例如：楼梯一共有$3$级，他可以每次都走一级，或者第一次走一级，第二次走两级也可以第一次走两级，第二次走一级，一共$3$种方法。

输入格式

输入包含若干行，每行包含一个正整数$N$，代表楼梯级数，$1\le N\le 30$

输出格式

不同的走法数，每一行输入对应一行输出。

样例输入

5
8
10

样例输出

8
34
89

题解

每次可以走$1$步或$2$步，所以走第$n$步$(n\ge 3)$时可以看做从$n-1$走$1$步或从$n-2$走$2$步，走第$n$步方案数就等于前$2$步方案数之和。

#include 
using namespace std;
int main(){
    long long num[31];
    num[1]=1;
    num[2]=2;
    for(int i=3;i<=30;++i) num[i]=num[i-1]+num[i-2];
    int n;
    while(cin>>n){
        cout<<num[n]<<endl;
    }
}

骨牌铺法

题目描述

有$1\ast n$的一个长方形，用一个 $1\ast 1$、$1\ast 2$和$1\ast 3$的骨牌铺满方格。

例如当$n=3$时，共有$4$种铺法。如下图：

输入格式

一个整数$n$，表示$1\ast n$的长方形。

输出格式

一个整数表示方法总数。

样例输入

3

样例输出

4

数据范围与提示

$$1<n<=40$$

题解

每次可以铺$1$格、$2$格或$3$格，所以铺$n$格$(n\ge 4)$时可以看做从$n-1$格、$n-2$格或$n-3$格开始铺，铺$n$格方案数就等于$n-1$格、$n-2$格、$n-3$格方案数之和。

#include 
using namespace std;
int main(){
	long long num[41];
	num[1]=1;
	num[2]=2;
	num[3]=4;
	for(int i=4;i<=40;++i) num[i]=num[i-1]+num[i-2]+num[i-3];
	int n;
	while(cin>>n){
		cout<<num[n]<<endl;
	}
}

爬台阶

题目描述

$H$老师爬台阶，他可以每步上$1$个或$2$个台阶，输入台阶的级数 ，求不同的走法数。

例如：$n=3$，台阶有$3$个台阶，他可以每步爬$1$个台阶，或者第$1$步爬$1$个台级，第$2$步爬$2$个台阶，也可以第$1$步爬$2$个台阶，第$2$步爬$1$个台阶，一共$3$种爬法。

但不幸的是，台阶上有$k$个台阶烂了，$H$老师不能踩在这些台阶上，现在给出台阶的级数$n$和烂的$k$个台阶，请你计算他上台阶的方法总数。

输入格式

第$1$行是两个$n,k$，代表台阶数和烂台阶的数目。

第$2$行是$k$个$1\sim n$的整数，表示烂台阶。

输出格式

不同的走法数。

样例输入

5 1
4

样例输出

3

数据范围与提示

$$100\%的数据满足：1\le n\le 60,0\le k<n$$

题解

每次可以走$1$步、$2$步或$3$步，所以走$n$步$(n\ge 4)$时可以看做从$n-1$步、$n-2$步或$n-3$步开始走，走$n$步方案数就等于$n-1$步、$n-2$步、$n-3$步方案数之和，如果是烂台阶，则第$n$步方案数位$0$。

#include 
#include 
using namespace std;
int main(){
	int n,k,p;
	long long num[101];
	num[0]=1;
	cin>>n>>k;
	for(int i=0;i<k;i++){
		cin>>p;
		num[p]=-1;//标记p为烂台阶
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i==1){
			if(num[i]==-1) num[i]=0;//烂台阶
			else num[1]=1;
		}else{
			if(num[i]==-1) num[i]=0;//烂台阶
			else num[i]=num[i-1]+num[i-2];
		}
	}
	if(num[n]==-1) printf("%lld\n",num[n-1]);
	else printf("%lld\n",num[n]);
    return 0;
}

二维动态规划

矩阵行走

题目描述

给定一个$n\ast m$的矩阵，问从左上角的交叉点走到右下角的交叉点有多少条不同的路径（同一路径不允许重复走，也不允许往回走）。

输入格式

一行两个正整数$n,m$

输出格式

路径数目$t$

样例输入

6 4

样例输出

210

数据范围与提示

$$\begin{gathered} 1\le n\le 10 \\ 1\le m\le 4 \end{gathered}$$

题解

走到$(i,j)$时，实际上是从$(i-1,j)$或$(i,j-1)$走过来的，所以路线数是从左或上走过来的路线数相加

#include 
using namespace std;
int main(){
	long long num[11][5];//记录走到(i,j)时路线数
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	//走第一行第一列都是1条路线
	for(int j=0;j<=m;j++) num[0][j]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++) num[i][0]=1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++){
		num[i][j]=num[i-1][j]+num[i][j-1];//可以从左或上走,方案数是左和上之和
	}
	cout<<num[n][m];//输出走到终点的路线数
}

走格子

题目描述

一个$N\times N$的网格，你一开始在$(1,1)$，即左上角。每次只能移动到下方相邻的格子或者右方相邻的格子，问到达$(N,N)$，即右下角有多少种方法。

但是这个问题太简单了，所以现在有$M$个格子上有障碍，即不能走到这$M$个格子上。

输入格式

输入文件第$1$行包含两个非负整数$N,M$，表示了网格的边长与障碍数。

接下来$M$行，每行两个不大于$N$的正整数$x,y$。表示坐标$(x,y)$上有障碍不能通过，且有$1\le x,y\le n$，且$x,y$至少有一个大于$1$，并请注意障碍坐标有可能相同。

输出格式

一个非负整数，为答案$mod100003$后的结果。

输入样例

3 1
3 1

输出样例

5

数据范围与提示

对于$100$的数据，有$N\le 1000,M\le 100000$。

题解

解法类似于上题矩阵行走，区别就是如果$(i,j)$是障碍物，则走到$(i,j)$的路线数为$0$

#include
using namespace std;
const int MAXN=1005;//数组大小
const int MOD=100003;//模
int n,m;
int a[MAXN][MAXN];//递推数组
bool flg[MAXN][MAXN];//标记数组
int main(){
	cin>>n>>m;//输入
	while(m--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		flg[x][y]=1;//标记
	}
	a[1][1]=1;//初始值为1
	for(int i=1;i<=n;i++){//两层循环枚举方格
		for(int j=1;j<=n;j++){//同上
			a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1];//递推式
			if(flg[i][j]==1) a[i][j]=0;//判断
            a[i][j]=a[i][j]%MOD;//模100003
		}
	}
	cout<<a[n][n];//输出路径总数
	return 0;
}

杨辉三角形

题目描述

杨辉三角形在组合数学中占有重要地位，与组合数、二项式定理等重要内容有关，如下图所示就是一个杨辉三角形：

通常用一个二维数组$C[i][j]$按右边示意图来存储杨辉三角形。$C[i][j]$表示第$i$行第$j$列的数字。
注意：行号从$0$开始编号，列号也从$0$开始编号。

输入格式

一行两个整数$i,j$。

输出格式

输出$C[i][j]$的值，即杨辉三角形的第$i$行第$j$列的元素。

样例输入

5 3

样例输出

10

数据范围与提示

$$0\le i\le 60,0\le j\le i$$

题解

实际上杨辉三角形可以看作是一个下三角形矩阵，每行第一个和最后一个元素是1，中间的元素是上方元素与左上元素之和。

#include 
#include 
using namespace std;
const int N=62;
const int MOD=100003;
int main(){
	long long num[N][N];
	num[0][0]=num[1][0]=num[1][1]=1;
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		num[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i-1;j++){
			num[i][j]=num[i-1][j]+num[i-1][j-1];
		}
		num[i][i]=1;
	}
	cout<<num[n][m];
}

动态规划-数字三角形模型

数字三角形

题目描述

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数。

        7
      3   8
    8   1   0
  2   7   4   4
4   5   2   6   5

从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大？

输入格式

第一行输入整数$n$表示三角形的层数。

在接下来的$n$行中，每一行表示三角形的中每一行整数，整数之间以空格隔开。

输出格式

输出三角形从第一行的数到最后一行数所经过的数字之和的最大值。

样例输入

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出

30

数据范围与提示

$$\begin{gathered} 1\le n\le 500 \\ -10000\le 三角形中的整数\le 10000 \end{gathered}$$

题解

两种动态规划设计方式,设$num[i][j]$表示$(i,j)$项的值

1. $dp[i][j]$表示从$(1,1)$走到$(i,j)$的最大值,$dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+num[i][j]$

#include 
#include 
using namespace std;
#define N 1001
int dp[N][N];
int main(){
	int n;
	int ret;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			cin>>dp[i][j];
            if(j==1) dp[i][j]+=dp[i-1][j];
            else if(j==i) dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
			else dp[i][j]+=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]);
			if(i==n){
				if(j==1) ret=dp[i][j];
				else ret=max(ret,dp[i][j]);
			}
		}
	}
	cout<<ret;
}

2. $dp[i][j]$表示从最后一行走到$(i,j)$的最大值,$dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+num[i][j]$

#include 
#include 
using namespace std;
#define N 1001
int dp[N][N];
int main(){
	int n;
	int ret;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			cin>>dp[i][j];
		}
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
		}
	}
	cout<<dp[1][1];
}

动态规划-最长上升子序列模型

最长上升子序列

题目描述

设有由$n(1\le n\le 1000)$个不相同的整数组成的数列，

记为 : $b(1)、b(2)、\dots 、b(n)$若存在$i_1<i_2<\cdots <i_e$且有$b(i_1)\le b(i_2)\le \cdots \le b(i_e)$则称为长度为$e$的不下降序列。

程序要求，当原数列出之后，求出最长的不下降序列。

例如$13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15$。

例中$13，16，18，19，21，22，63$就是一个长度为$7$的不下降序列，同时也有$7，9，16，18，19，21，22，63$组成的长度为$8$的不下降序列。

输入格式

第一行包含整数$N$。

第二行包含$N$个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

输入样例

14
13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

输出样例

8

数据范围与提示

$$\begin{gathered} 1\le N\le 1000 \\ -10^9\le 数列中的数\le 10^9 \end{gathered}$$

题解

用$dp[i]$表示以下标$i$结尾时最长上升长度，则$dp[i]=max(dp[j])+1(j<i,b[j]\le b[i])$

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define N 1001
int dp[N];
int num[N];
int main() {
    int n,mLen = 0;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        cin>>num[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++) {
        dp[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++) {
            if(num[j]<=num[i]){
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        mLen=max(mLen,dp[i]);
    }
    cout<<mLen;
}

最长公共子序列

题目描述

给定两个长度分别为$N$和$M$的字符串$A$和$B$，求既是$A$的子序列又是$B$的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式

第一行包含两个整数$N$和$M$。

第二行包含一个长度为$N$的字符串，表示字符串$A$。

第三行包含一个长度为$M$的字符串，表示字符串$B$。

字符串均由小写字母构成。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

输入样例

4 5
acbd
abedc

输出样例

3

数据范围与提示
$$1\le N\le 1000$$

题解

用$dp[i][j]$表示$A,B$分别取前$i,j$长度时最长公共子序列长度。
显然$A[i]==B[j]$时$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$，$A[i]\ne B[j]$时$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$

#include 
#include 
using namespace std;
#define N 1001
int dp[N][N];
char s1[N],s2[N];
int main()
{
	int n1,n2;
	scanf("%d%d%s%s",&n1,&n2,s1+1,s2+1);
	//+1是因为保留下标0
	for(int i=0;i<=n1;i++){
		for(int j=0;j<=n2;j++){
			if(i==0||j==0){
				dp[i][j]=0;//有下标0是空串
				continue;
			}
			if(s1[i]==s2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			else{
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[n1][n2]);
	return 0;
}

动态规划-背包问题

01背包

题目描述

有$N$件物品和一个容量是$V$的背包。每件物品只能使用一次。

第$i$件物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，$N,V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有$N$行，每行两个整数$v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第$i$件物品的体积和价值。

题解
用$dp[i][j]$表示取前$i$个物品装入最大容量为$j$的背包所获得最大价值。

1. $j-v[i]>=0$表示能装下物品$i$，$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])$，$max$的两项分别表示装货不装物品$i$
2. $j-v[i]<0$表示不能装下物品$i$，$dp[i][j]=dp[i-1][j]$

#include 
#define maxL 1001
using namespace std;
int main(){
	int dp[maxL][maxL],v[maxL],w[maxL];
	//dp[i][j]表示选取i号背包使用j空间的最大价值 
	int n,maxW;
	cin>>n>>maxW;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=maxW;j++){
			if(i==0||j==0) dp[i][j]=0; 
			else if(j<v[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];
			else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<dp[n][maxW];
	return 0;
}

完全背包

题目描述

有$N$种物品和一个容量是$V$的背包，每种物品都有无限件可用。

第$i$种物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数$N,V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有$N$行，每行两个整数$v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第$i$种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10 

数据范围与提示
$$0<N,V\le 10000<v_i,w_i\le 1000$$

题解
以01背包问题为基础，用$dp[i][j]$表示取前$i$个物品装入最大容量为$j$的背包所获得最大价值。
$j-k\ast v[i]>=0$表示能装下$k$个物品$i$，$dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k\ast v[i]]+k\ast w[i])$

#include 
using namespace std;
#define N 10001
int dp[N][N];
int v[N],w[N];
int n,V;
int main(){
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i]>>w[i];//输入
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=V;j++){
			for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
				//求如何装入可得到最大的dp[i][j]
			}
		}
	}
	cout<<dp[n][V];
}

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