阿基里斯为什么跑不过乌龟？

古希腊有一位哲学家，名字叫芝诺，他提出了一个描述快慢运动之间存在悖论的问题，收录在亚里士多德的《物理学》一书中，这个悖论叫做阿基里斯悖论。

这个悖论是这样的，说有一个人叫阿基里斯的人，和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头100米，假设阿基里斯的速度是乌龟的10倍，比赛开始，阿基里斯和乌龟同时开跑, 当阿基里斯跑了100米时，乌龟跑了10米，领先于他，当阿基里斯跑了下一个10米时，乌龟仍领先于他1米，当阿基里斯接着跑10米时，乌龟仍领先0.1米......如此循环，这样来看，似乎阿基里斯永远也追不上乌龟，这与我们的常识矛盾，但这个逻辑表面上似乎能成立，明眼上看不出来有什么地方不对，那么问题究竟出在哪里了呢？

不妨先将这个问题简化一下，为了便于计算，假设阿基里斯的速度是10m/s, 乌龟的速度是1m/s，问题变成：在乌龟领先100米的情况下，两人同时起跑，问阿基里斯需要多久能追上乌龟？

这个问题应当能信手拈来，我们一起来计算下：
设：阿基里斯需要s秒能追上乌龟，建立一元一次方程：
10s = 100 + s
解得：s = 10/9s

10/9秒是一个无穷数，用数字表示为：1.11111..... 后面无数个1。

这个时间1.1111.....秒 的由来我们也换一个角度来理解。
当阿基里斯跑了100米的时候，乌龟又跑了10米，用时 1秒。
当阿基里斯跑10米的时候，乌龟又跑了1米，用时0.1秒。
当阿基里斯跑1米的时候，乌龟又跑了0.1米，用时0.01秒。
当阿基里斯跑0.1米的时候，乌龟又跑了0.01米，用时0.001秒。
继续循环，可以看出规律，1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒，阿基里斯下一次到达乌龟所在位置的时间都是上一次所用时间的0.1倍，所以整个的用时可以表示为：
s = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 +.....秒

原题说阿基里斯永远也追不上乌龟，永远的意思表示的是无限的时间，永远大于100年，大于1000年，时间无限延续，没有尽头。而我们得到的时间是s = 1.11111...s，那么从这里就可以看出：1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001......这些时间的和1.111111....秒并不就等于无穷的时间，而是无限的趋近于一个数。1.1111.....秒绝对不会超过1.2秒，一但时间超过1.2秒，阿基里斯就会追上乌龟。

所以现在可以看到这个悖论的矛盾之处了，错误的将无限个细微的，细小的时间当成是无穷的时间，而实际上，这些时间的总和是不会超过一个定值的。