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凯利公式简介

(1) 凯利公式

凯利公式由John L.Kelly.Jr于1956年发表在《贝尔系统技术期刊》上，用于计算特定赌局中的下注比例，以使用户的资金增长率达到最大化。

凯利公式的原始表达式如下：

f* = ( kp - 1 ) / ( k - 1 )

其中p代表胜率，k代表毛赔率。

(2) 毛赔率

毛赔率指包含本金的赔率。比如单次下注1元，赌输时损失1元，赌赢时获得3元(包含下注的1元)。

则本次赌局的毛赔率为3:1，净赔率为2:1，净利润为2元。

(3) 应用举例

假设有一场赌局，每次下注的胜率为60%，赌输时损失全部下注金额，赌赢时可获得3倍的下注金额(含下注金额)。

请问每次应下注多大金额，才能使资金的增值速度最快？

在这场赌局中，胜率p=60%，毛赔率k=3，代入凯利公式计算，可求得最佳下注比例：f* = 40%

即每次拿剩余资金的40%下注，可使资金的增值速度最快。

凯利公式在投资中的应用

(1) 凯利变形式

由上述分析可知净赔率 = 毛赔率 - 1，现设赌局的净赔率为b，则b=k-1；设赌局输掉的概率为q，则q=1-p。

将以上变形式代入 f* = (kp-1) / (k-1)，化简得到凯利公式的等价式如下：

f* = ( bp - q ) / b

其中p代表赌赢率，q代表赌输率，b代表净赔率。

(2) 应用举例

假设有一个投资机会，止盈(Win)W=10%，上损(Loss)L=20%，盈利的概率为p=70%，我们应该拿多少资金来建仓呢？

在这笔投资中，胜率p=70%，净赔率b=0.5(b=W/L)，代入公式 f=(bp-q)/b 计算：f=10%

(3) 仓位计算公式

凯利公式的本质是对风险的管理，f=10%*表示我们应该用剩余资金的10%去冒险，即止损金额应为剩余资金的10%。

根据公式冒险资金 = 仓位 * 止损百分比可知：

仓位 = 冒险资金 / 止损百分比

因此，这笔投资我们的仓位应为：M=f*/L=50%

我们将b=W/L代入仓位计算公式：M=f*/L，化简后如下：

M = ( pW - qL ) / WL

其中p代表胜率，q代表败率，W代表止盈百分比，L代表止损百分比。

代入公式验证一下，结果仍然是50%。

(4) 凯利公式与杠杆

由于凯利公式计算的是冒险资金的比例，因此，在盈利期望值较大或止损百分比较小的情况下，可以会出现仓位大于100%的情况。

举例：现有一个投资机会，胜率为60%，止损为10%，止盈为10%。

代入公式 (pW-qL)/WL计算，得到最佳仓位M=200%。

根据凯利公式计算，这笔投资应该使用剩余资金的20%冒险，但由于止损百分比为10%，所以仓位应为200%。

理论上，可以借钱建仓或使用杠杆。

温馨提示：珍爱生命，远离杠杆！

从赌徒到量化投资，他用一个凯利公式，碾压了赌场和华尔街！