算法Day41 | 343. 整数拆分，96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分
dp[i] 为 i 拆得到的最大乘积

递推公式：

• 拆成两个数：j和i-j
• 拆成多个数：j和dp[i-j]，（dp[i-j]是使用上一步的拆分，因此是拆成至少两个数）
  为什么只拆分i-j，而不拆分j：因为递推公式是从头开始递归的，拆分i-j的时候，已经包含了拆分j，（递推公式都是从最小可拆分开始的）

初始化：dp {0, 0, 1, ...}

class Solution {
public:
   int integerBreak(int n) {
       vector<int> dp{0, 1, 1};
       dp.resize(n + 1);
       for (int i = 3; i < n + 1; ++i) {
           for (int j = 1; j <= i / 2/*剪枝*/; ++j) {
               dp[i] = max({dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]});
           }
       }
       return dp.back();
   }
};

j <= i / 2这一步骤的剪枝是因为拆分出的乘积最大值，一定是在拆分出的数相等左右得到的，比如拆分 $100$，一定是在 $50^2$，$33^2\times 34$，$25^4$等得到的，而不是$1\times 99$，$2\times 98$等

递推公式中还要和dp[i]比较是当j遍历时，固定得到的最大dp[i]。

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96.不同的二叉搜索树

题目链接：96.不同的二叉搜索树
根据根节点的不同，来进一步的细分树结构。
例如 $n=3$
根节点为1，左子树为0个节点，右子树为2个节点
根节点为2，左子树为1个节点，右子树为1个节点
根节点为3，左子树为2个节点，右子树为0个节点
dp[3] = dp[0] * dp[2] + dp[1] * dp[1] + dp[2] * dp[0]

递推公式：dp[i] = dp[0] * dp[i - 1] + dp[1] * dp[i - 2] + ... + dp[i - 1] * dp[0]
初始化：dp[0] = 1
遍历顺序：从小到大

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp{1};
        dp.resize(n + 1);
        for (int i = 1; i < n + 1; ++i) {
            //求和的递推公式
            for (int j = 1; j < i + 1; ++j) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

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