快速幂算法

现在越来越深刻的理解到 算法 =  数学 这个公式了，当兴致勃勃要写一道算法题的时候，经常被数学给难住，代码还没开始编写‍♀️，一大半时间都在思考数学问题（ps：笨的人只能靠努力了~~花时间了~~）。

今天就以快速幂算法为例，让大家感受一下数学之美、算法之美。

一、幂运算

快速幂，顾名思义就是快速做运算（剩下大把的时间…………）。那什么是幂运算呢？ 

 答：幂（power）是指乘方运算的结果。n^m指该式意义为m个n相乘。把n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方，其中，n是底数，m是指数。

举例：2^3，指的是3个2相乘。因为2^3=8，所以8是乘方的结果，此时称为2的3次幂，也叫做2的3次方。

二、幂的数学表示和规则

为了说清楚快速幂的基本原理，此处引入幂在数学中表示方式和运算规则。一般而言，如果你想表示a的b次方，在数学上可以这样写：

比如：想要表示2的3次方、5的2次方，可以这样写：

 

如果做乘法运算的话，有这样一个规则：底数相同，指数相加，例子如下：

且有这样以下的式子恒成立：

三、快速幂的基本原理 

如果我们换一个角度看问题，我们可以将这个数进行这样的拆解：

式子1 

 如果以上式子理解起来还是有一些困难的话，我们再看看这个式子：这个式子和上面的式子是等价的，运算次数也是4次。

式子2 

四、循环求快速幂 

基本思想：参考式子1，将底数不断变大，指数缩小。

现在需要编写循环代码求解以下式子：

 如何将底数不断变大，指数不断缩小求解答案呢？

参考代码如下：

 ​​​在这里，你们可以将2^6代入到代码中进行模拟。感受一下循环求解快速幂的过程。

 

 总结：快速幂是一个将底数等价增大，指数等价缩小的过程。

当指数b是偶数时，有：

当指数b是奇数时，有： 

五、递归求快速幂 

基本思想：参考式子2，将大规模问题变成小规模问题‍，从而得出最终的答案。

比如：现在要求解2^6的值，那么可以将2^6看成：2^6 = 2^3 * 2^3，这个时候问题规模由2^6变成了2^3，而2^3 = 2^2 * 2^1，此时问题规模由2^3变成了2^2，然后把2^2看成2^2 = 2^1 * 2^1，此时问题规模由2^2变成了2^1，2^1的结果为2，已经知道最小问题规模的答案为2，此时一步一步反推回去，最终能够求出2^6等于64。

参考代码如下：

六、快速幂中的取余运算  

在做和快速幂有关的题目的时候，经常会发现有个取余运算，主要原因是因为现在oj网站的题或者竞赛的题，如果a的b次幂且b很大（b很大会爆空间），那么题中大多会让你把结果对一个数取余也就是求模，例如a^b%c这种。

【题目描述】
        假设今天是星期日，那么过a的b次方天之后是星期几☕？

【输入】
        两个正整数a，b，中间用单个空格隔开。0

【输出】
        一个字符串，代表过a的b次方天之后是星期几。

        其中，Monday是星期一，Tuesday是星期二，Wednesday是星期三，Thursday是星期四，Friday是星期五，Saturday是星期六，Sunday是星期日。

【输入样例】
        3 2000

【输出样例】
        Tuesday

数学上有一个公式：(a*b)%m = (a%m * b%m) %m 

#include
using namespace std;
int a,b,m=7,res=1;
int main() {
	cin >> a >> b;
	while(b!=0) {
		if(b%2==1) {
			res = res * a % m;
		}
		a = a * a % m;
		b = b/2;
	}
	switch(res) {
		case 0: {
			cout << "Sunday" << endl;
			break;
		}
		case 1: {
			cout << "Monday" << endl;
			break;
		}
		case 2: {
			cout << "Tuesday" << endl;
			break;
		}
		case 3: {
			cout << "Wednesday" << endl;
			break;
		}
		case 4: {
			cout << "Thursday" << endl;
			break;
		}
		case 5: {
			cout << "Friday" << endl;
			break;
		}
		case 6: {
			cout << "Saturday" << endl;
			break;
		}
	}
	return 0;
}

假设今天是周日，以求解 2^3是星期几为例，即求2^3%7的结果 ，通过公式我们知道：

(2 * 2 * 2) % 7 = (2%7 * (2*2)%7) % 7。

接下来，我们对代码进行数据模拟，试试看当a=2，b=3时，能否得到以上式子。

第一步：输入a、b，a=2，b=3

第二步：判断b是否为0，b不为0，且b为奇数，得到 res = 2%7

第三步：a的值重新设为 a = (2*2)%7

第四步：b为1，执行 res = (2%7 * (2*2)%7) % 7

第五步：计算a、b，b为0，退出while循环。

通过以上五个步骤的模拟，可以知道，最终res的值和公式求解的值一致。

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七：总结

编写通俗易懂的算法文章是一件特别有意思、有成就感的事情，接下来我将编写各种专题算法，同时配备视频，有需要的小伙伴可以喊我一声⛳。