算法学习打卡day38｜动态规划初探、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

动态规划

• 什么是动态规划？

  • 如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
  • 动态规划问题中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

• 做题方法论：

  • 动态规划问题做题大致分如下五个步骤：
    1. 分析好dp数组代表什么，dp[ i ]种的 i 代表什么
    2. 分析 dp 推导式
    3. 根据dp推导式，初始化dp数组
    4. 确定遍历顺序，从前往后还是从后往前，从哪个元素开始遍历。
    5. 根据dp数组输出，判断是否符合预期
  • 常用debug方法：就是直接把遍历过程中dp数组打印出来，和自己手动推导的是否一样，一样就可能是推导式的问题，不一样可能是代码实现的问题了。

509. 斐波那契数

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题目描述：
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

思路：

• 这道题很简单，直接上五部曲：
  1. dp数组代表第 i 个位置的数字是多少
  2. 确定推导式：题目已经给出来了，dp [ i ] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  3. dp数组初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1;
  4. 遍历顺序：显然是从前往后遍历，i从2开始
  5. 手动推导一部分序列，以便查看结果是否正确：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

代码实现

int fib(int n) {
        if (n < 2)  return n;

        int dp[2];
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;
        int N = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            N = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = N;
        }
        return N;
    }

70. 爬楼梯

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题目描述：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶：1 阶 + 1 阶、2 阶

示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶：1 阶 + 1 阶 + 1 阶、1 阶 + 2 阶、2 阶 + 1 阶

思路：

• 这道题和斐波那契数列几乎一样，只不过需要自己分析出dp表达树。
• 直接上五部曲：
  1. dp数组代表走到第 i 层有几种路径
  2. 确定推导式：推导式也很好分析，第 i 层可以由第i - 1层走一步或者第 i - 2层走两步达到，所以有推导式：dp [ i ] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  3. dp数组初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1，dp[2] = 2;这里第0层因为没走嘛，所以初始化为0，然后从i = 3开始遍历
  4. 遍历顺序：显然也是从前往后遍历，i从3开始
  5. 手动推导一部分序列，以便查看结果是否正确：0 1 2 3 5 8 13…

代码实现

int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2)  return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1, dp[2] = 2;
        int N = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            N = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = N;
        }
        return N;
    }

746. 使用最小花费爬楼梯

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题目描述：
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。

思路：

• 这道题和上题略有不同，这道题不是求总路径而是求最短路径，那么应该是dp[i - 1] 和dp[i - 2]两个位置到当前层的最小花销才对，这样就很简单了，直接取最小值即可。
• 动态规划五部曲：
  1. dp数组代表走到第 i 层的最小花费
  2. 确定推导式：推导式也很好分析，第 i 层可以由第i - 1层走一步或者第 i - 2层走两步达到，每次取两者最小值即可，所以有推导式：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
  3. dp数组初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 0;这里题目规定可以从第0层和第1层开始走，那么这两层直接初始化为0.
  4. 遍历顺序：显然也是从前往后遍历，i从2开始，因为从第二层开始就已经开始花钱了！
  5. 手动推导一部分序列，以便查看结果是否正确：0 0 10 15

代码实现

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        //dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        int size = cost.size();
        vector<int> dp(size + 1, 0);
        for (int i = 2; i <= size; ++i) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[size];
    }

• 难点：感觉动态规划难点就在于表达式的分析，表达式分析出来后，dp数组初始化和遍历顺序和起始位置把握好，基本能做出来，仔细分析，不要着急写代码，按照五部曲来！！！