最长上升子序列（O(n^2)与O(nlogn)+二分）最长公共子序列

最长上升子序列（LIS）

最长上升子序列是最基本的dp问题，以前一直都只写过O(n^2)的解法，现在终于有时间整理一下了。

把poj上的几道最长上升子序列的水题又重新做了一下，主要有1631、2533、3903

方法一：O(n^2)

dp[i]：表示处理到第i个位置，序列的最长上升子序列末尾为i的长度； a[]数组存储原序列

dp[i] = max{dp[j]+1}，a[i]>a[j]，0≤j≤i

方法二：O(nlogn)

方法一种求dp[i]时需要O(n)的复杂度，其实我们最后只需要知道最大的dp[j]+1就可以了，所以如果能够维护一个单调的数组，从而即可实现二分查找。

dp[]和a[]与方法一中具有同样意义，再添加一个maxv[]数组，maxv[l]表示包含的最长上升子序列长度为l时，末尾的最小的数的值，举个例子：

a[]：      1、2、3、-1、1、2、3、1

dp[]：    1、2、3、1 、2、3、4、2

处理完第N位最后的maxv就会是：-1、1、2、3，毋庸置疑，maxv肯定是递增的，而且找到最小的值就保证了对于固定长度l时，可以直接从存储在maxv中的数得到最优解（呃，不知道怎么说清楚了），maxv在求解dp的过程中也是要不断更新的。

如果最后要输出解的情况的话，那么maxv中就不能简单的存储固定长度对应的原序列的最小值了，而要记录下编号，好以后利用pre数组递归回去，而此时满足单调的数组就不是maxv[i]与i的关系了，而是a[maxv[i]]与i的关系了，更新maxv数组时也要注意。

不输出解（poj 3903）：

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输出解（没有找到题号，自己写的）：

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最长公共子序列（LCS）

最长上升子序列的基本转移方程为：d[i][j] = max{d[i'][j']}+1， p[i] = q[j]，i'>i，j'>j

基本的典型题是POJ 1159，附代码

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 1 /*也可进一步用滚动数组优化*/

 2 

 3 #include<iostream>

 4 #include<cstdio>

 5 #include<cmath>

 6 #include<algorithm>

 7 #include<cstring>

 8 using namespace std;

 9 short dp[5010][5010];

10 

11 char s1[5010], s2[5010];

12 int main(){

13     int n, m, i, j, k;

14     scanf("%d",&n);

15     cin>>s1;

16     for(i=0;i<n;i++){

17         s2[i] = s1[n-1-i];

18     }

19     memset(dp,0,sizeof(dp));

20 

21     for(i=1;i<=n;i++){

22         for(j=1;j<=n;j++){

23             if(s1[i-1]==s2[j-1]){

24                 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

25             }

26             else{

27                 dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);

28             }

29         }

30     }

31     printf("%d\n",n-dp[n][n]);

32     return 0;

33 }

据说，LIS也又O(nlogn)的做法，使用静态二叉树（黑书上又说），目前还不会

另外，最长上升子序列（LCS）和最长公共子序列（LIS）其实可以互相转换。

LCS -> LIS：把序列排序后与原序列找最长公共子序列

LIS -> LCS：设有序列A，B。记序列A中各个元素在B中的位子(降序排列)，然后按在A中的位置依次列出然后求A的最长递增子序列。

例如：
A串位置             1 2 3 4                             B串位置：        1 2 3 4

                  A串: 4 3 5 2                                              B串: 2 5 4 3

A串在B串--位置  3 4 2 1  因为B串已经顺序了，只要求出这行的最长递增子序列 就是最长公共子序列的长度了。
　　例如：有A={a,b,a,c,x}，B={b,a,a,b,c,a}则有a={6,3,2},b={4,1},c={5};x=/;（注意降序排列）

然后按A中次序排出{a(6,3,2),b(4,1),a(6,3,2),c(5),x()}={6,3,2,4,1,6,3,2,5}；对此序列求最长递增子序列即可

不过这种转换好像没有太大的帮助